Отличная квантовая механика

a) Покажите, что эти состояния образуют ортонормальный базис.

b) Найдите разложения этих состояний в каноническом базисе с использованием двух методов:

• выразив |R⟩ и |L⟩ в каноническом базисе и подставив в (1.33);

• найдя матричные формы состояний |ψ⟩, |ϕ⟩, |H⟩ и |V⟩ в круговом базисе и использовав скалярное произведение.

c) Убедитесь, что состояния |ψ⟩ и |ϕ⟩ образуют ортонормальное множество, воспользовавшись скалярным произведением в каноническом базисе.

d) Разложите состояния |H⟩, |V⟩, |R⟩, |L⟩, в базисе {|ψ⟩, |ϕ⟩}. Напишите ответ как в нотации Дирака, так и в матричной нотации.

e) Состояния |H⟩, |V⟩, |R⟩, |L⟩, измерены в базисе {|ψ⟩, |ϕ⟩}. Каковы вероятности результатов?

Задача 1.3. Повторите упр. 1.12 для фотона, который находится в случайном статистически смешанном состоянии, описываемом следующим ансамблем:

a) либо |+⟩ с вероятностью 1/2, либо |—⟩ с вероятностью 1/2;

b) либо |R⟩ с вероятностью 1/2, либо |L⟩ с вероятностью 1/2.

Задача 1.4. Рассмотрите модифицированный протокол BB84, в котором Алиса посылает, а Боб анализирует фотон в поляризационном базисе, выбранном случайно, с равной вероятностью для каждого варианта из следующих трех: (0º, 90º), (30º, 120º), (60º, 150º). Найдите долю битовых ошибок, которые увидят Алиса и Боб в случае прямолинейной атаки, в которой Ева перехватывает фотон, измеряет его в одном из трех приведенных выше базисов (выбранном случайно и равновероятно) и отправляет Бобу то, что измерила. Потерь в линии нет, все оборудование идеально.

Задача 1.5. Рассмотрим оператор Â, выполняющий следующее преобразование:

a) Как состояние вертикальной поляризации преобразуется оператором Â?[35]

b) Напишите матрицу Â в каноническом базисе.

c) Выразите Â в нотации Дирака через внешнее произведение состояний |H⟩ и |V⟩.

d) Используя тот факт, что для любого линейного оператора  (λ|a⟩ + µ|b⟩) = λÂ|a⟩ + µ  |b⟩, определите, как  действует на состояния с круговой поляризацией.

e) Пользуясь предыдущим результатом, найдите матрицу Â в базисе круговой поляризации.

f) Найдите матрицу Â в каноническом базисе по его матрице в круговом базисе при помощи разложения (А.26) единичного оператора. Согласуется ли ваш результат с результатом пункта b)?

g) Является ли Â эрмитовым? Если нет, то каков оператор, сопряженный с ним?

Задача 1.6. Выполните упр. 1.24 с использованием альтернативного метода.

a) Напишите матрицу оператора волновой пластинки в базисе {|α⟩, |90º + α⟩}

b) Переведите эту матрицу в канонический базис при помощи разложения (A.26) единичного оператора.

Задача 1.7. Используя уравнение (1.5), покажите, что , т. е. две четвертьволновые пластинки с параллельными оптическими осями, сложенные вместе, составляют одну полуволновую пластинку.

Задача 1.8. Используя перемножение матриц, покажите, что четвертьволновая пластинка, ориентированная под любым углом, при применении к состоянию круговой поляризации дает состояние линейной поляризации.

Задача 1.9. Найдите базис измерения, связанный с устройством, которое состоит из:

a) полуволновой пластинки,

b) четвертьволновой пластинки

с оптической осью, ориентированной под углом α, за которой следует поляризующий светоделитель и два детектора фотонов.

Задача 1.10. Оператор Â имеет в каноническом базисе следующую матрицу:

a) Представьте этот оператор в виде Â = 𝑣₁|𝑣₁⟩⟨𝑣₁| + 𝑣₂|v₂⟩⟨𝑣₂|, где {|v₁⟩, |𝑣₂⟩} — ортонормальный базис. Найдите 𝑣₁, 𝑣₂, а также матрицы |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩ в каноническом базисе.

b) Напишите матрицы внешних произведений |𝑣_1,2⟩⟨𝑣_1,2| в каноническом базисе и убедитесь явно, что Â = 𝑣₁|𝑣₁⟩⟨𝑣₁| + 𝑣₂|𝑣₂⟩⟨𝑣₂|.

c) Наблюдаемое Â измеряется в состоянии круговой поляризации |R⟩. Каковы вероятности возможных результатов?

d) Вычислите математическое ожидание результата измерения:

• используя определение математического ожидания из теории вероятностей;

• используя выражение для квантового среднего.

Убедитесь, что результаты одинаковы.

e) Вычислите дисперсию наблюдаемого Â в состоянии |R⟩.

Задача 1.11. Рассмотрите устройство для измерения поляризации фотона, имеющее следующие свойства:

• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «2»;

• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом π/2 + q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «3».

a) Найдите собственные значения и собственные состояния оператора Â, связанные с наблюдаемым, измеренным этим устройством.

b) Найдите матрицы оператора Â в его собственном базисе и базисе {|H⟩, |V⟩}.

c) Найдите вероятность каждого результата измерения для фотона, линейно поляризованного под некоторым углом ϕ.

d) Найдите среднее и дисперсию этого измерения.

Задача 1.12. Напишите принцип неопределенности для наблюдаемых измеренных в состоянии |H⟩. Убедитесь явно, что он выполняется.