Отличная квантовая механика

Упражнение 2.10. Для двух фотонов, приготовленных в состоянии найдите вероятность обнаружить состояние:

Считаем, что измерение выполняется в некотором ортонормальном базисе, в который входит интересующее нас состояние.

Упражнение 2.11. Алиса и Боб имеют общее состояние

a) Найдите вероятности всех результатов, если Алиса и Боб измерят |Ψ⟩ в (1) каноническом и (2) диагональном {|+ +⟩, |+ —⟩, |— +⟩, |— ⟩} базисах.

b) Алиса и Боб имеют общую единственную копию одного из белловских состояний, |Ψ^—⟩ или |Ψ⁺⟩, но не знают, какого именно. Могут ли они выяснить это при помощи измерений в каноническом базисе? А в диагональном?

Важный вывод, который мы можем сделать из этого упражнения, состоит в том, что, хотя запутанные состояния могут возникать только при взаимодействии двух физических систем, их измерение (например, с целью отличить одно от другого) не требует не только взаимодействия, но даже проекции на запутанные состояния. Более того, можно провести полную квантовую томографию квантового состояния в составном гильбертовом пространстве при помощи измерений в базисах, содержащих только разделимые состояния. Мы покажем это строго в конце основного текста (упр. 5.78).

Упражнение 2.12*. Предложите процедуру выполнения измерения в базисе {|H— ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩}.

Подсказка: считайте, что Алиса и Боб связаны классическим каналом связи.

2.1.3. Тензорное произведение операторов

Расширим понятие тензорного произведения на операторы. Это расширение относительно прямолинейно: в операторе компонент Â действует на гильбертово пространство Алисы, а компонент — на гильбертово пространство Боба. Приведем формальное определение и выполним несколько упражнений.

Тензорное произведение оператора Â, который действует на 𝕍_A, и оператора который действует на 𝕍_B, определяется как линейный оператор на 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, такой, что для любого вектора |Ψ⟩ = Σ_i λ_i |a_i⟩ ⊗ |b_i⟩

Упражнение 2.13. Выразите матрицу тензорного произведения оператора в базисе {|𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩} через матрицы операторов в соответствующих базисах {|𝑣_i⟩} и {|ω_j⟩}.

Ответ: для каждого элемента матрицы[39]

Упражнение 2.14. Найдите математическое ожидание и неопределенность оператора в состоянии

Упражнение 2.15§. Предположим, что |𝑣⟩ и |ω⟩ — собственные состояния операторов с собственными значениями 𝑣 и ω соответственно. Покажите, что состояние |𝑣⟩ ⊗ |ω⟩ является собственным состоянием оператора с собственным значением 𝑣ω.

Упражнение 2.16. Покажите, что для операторов

Упражнение 2.17§. Покажите, что тензорное произведение операторов не может сделать запутанное состояние из разделимого.

Упражнение 2.18. Для двух операторов внешнего произведения соответственно покажите, что

Понятие о тензорном произведении операторов красиво иллюстрируется таким значительным результатом, как теорема о запрете клонирования (no-cloning theorem)[40]. Предположим, у нас имеется два объекта, представленные идентичными гильбертовыми пространствами 𝕍_A и 𝕍_B, причем объект, представленный 𝕍_A, находится в некотором произвольном квантовом состоянии |a⟩. Квантовое клонирование — гипотетическая операция, которая создавала бы копию |a⟩ в 𝕍_B, сохраняя при этом оригинал в 𝕍_A. Иными словами, она соответствует некоторому оператору на 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, такому, что для любого |a⟩ ∈ 𝕍_A и некоторого |0⟩ ∈ 𝕍_B

|a⟩ ⊗ |0⟩ → |a⟩ ⊗ |a⟩. (2.10)

Упражнение 2.19. Покажите, что квантовое клонирование в том виде, как оно определено выше, невозможно.

Подсказка: воспользуйтесь тем фактом, что любая физически возможная эволюция в квантовой механике описывается линейным оператором.

Сопряженное пространство тензорного произведения определяется аналогично тому, как мы определили прямое, т. е. для любого состояния тензорного произведения |a⟩ ⊗ |b⟩[41]

сопр (|a⟩ ⊗ |b⟩) ≡ сопр (|a⟩) ⊗ сопр (|b⟩) ≡ _A⟨a| ⊗_B⟨b| ≡ ⟨ab|. (2.11)

Упражнение 2.20. Покажите, что для

Упражнение 2.21. Покажите, что:

a) тензорное произведение двух эрмитовых операторов эрмитово;

b) тензорное произведение двух унитарных операторов унитарно.

2.1.4. Локальные операторы

Операторы тензорного произведения вида называются локальными операторами, потому что действуют только на один компонент гильбертовых пространств. Примером может служить волновая пластинка, которая располагается на пути фотона Алисы и поворачивает его поляризацию, оставляя при этом фотон Боба нетронутым. Локальные операторы часто записываются в упрощенной нотации: пишут просто Â вместо и вместо

Упражнение 2.22. Покажите, что локальный унитарный оператор не может сделать разделимое состояние запутанным, и наоборот.