Отличная квантовая механика

Упражнение 2.23. Предположим, что |a⟩ — собственное состояние оператора Â на гильбертовом пространстве Алисы с собственным значением a. Покажите, что для любого вектора |b⟩ в гильбертовом пространстве Боба вектор |ab⟩ есть собственное состояние локального оператора с тем же собственным значением.

Упражнение 2.24. Пусть — наблюдаемые в пространствах Алисы и Боба соответственно. Двусоставное состояние |Ψ⟩ является собственным состоянием с собственным значением x, но не является собственным состоянием локальных операторов

a) Приведите пример такой ситуации.

b) Покажите, что всякий раз, когда Алиса измеряет Â, а Боб — в состоянии |Ψ⟩, произведение полученных ими величин равно x.

Подсказка: воспользуйтесь упр. A.66.

Упражнение 2.25. Предположим, Алиса и Боб располагают белловским состоянием |Ψ^—⟩. Алиса производит локально над своим кубитом операцию, соответствующую одному из трех операторов Паули. Покажите, что:

Данный результат имеет интересное приложение в квантовом протоколе связи, известном как квантовое сверхплотное кодирование (quantum superdense coding, см. отступление 2.2).

Отступление 2.2. Граница Холево и квантовое сверхплотное кодирование

Предположим, что Алиса и Боб связаны неким каналом связи (например, оптоволоконным). Алиса хочет послать Бобу классическое сообщение из n бит, зашифровав информацию в некотором наборе квантовых частиц, каждая из которых несет в себе кубит[42]. Сможет ли она достичь своей цели, использовав меньше, чем n квантовых частиц?

Простое рассуждение показывает, что на этот вопрос следует ответить отрицательно. В самом деле, n кубитов соответствуют 2ⁿ-мерной квантовой системе (упр. 2.2). Как бы Алиса ни кодировала свои биты в кубитах, Боб при измерении этой системы сможет получить не более 2ⁿ возможных результатов, так что полное количество различных сообщений, которые можно зашифровать в n кубитов, равно 2ⁿ. Емкость n бит классической информации точно такая же. Это ограничение — пример так называемой границы Холево в квантовой информатике.

Однако если у Алиса и Боба есть заранее приготовленные общие запутанные кубиты, то границу Холево можно обойти при помощи протокола, известного как квантовое сверхплотное кодирование. Предположим, Алиса хочет послать Бобу два бита классической информации. Протокол тогда выглядит следующим образом:

• Алиса и Боб заранее готовят общее состояние |Ψ ^— ⟩ из двух кубитов (к примеру, фотонов).

• В зависимости от значения своих двух битов Алиса производит над своим кубитом операцию превращая таким образом общее запутанное состояние в одно из четырех белловских состояний, как в упр. 2.25. Реализовать это можно при помощи волновых пластинок (см. упр. 1.26).

• Алиса отправляет свой кубит Бобу.

• Теперь у Боба два кубита. Он измеряет их в базисе Белла и получает одно из четырех состояний, что соответствует двум классическим битам.

Таким способом Алиса может передать два бита классической информации, переслав всего один кубит.

Упражнение 2.26. Предположим, что гамильтониан в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B задается суммой

Ĥ = Ĥ_A + Ĥ_B

гамильтонианов, которые представляют собой локальные операторы в своих пространствах-компонентах. Покажите, что:

a) если начальное состояние в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B есть тензорное произведение

|ψ (0)⟩ = |ψ_A (0)⟩ ⊗ |ψ_B (0)⟩,

то в ходе шрёдингеровой эволюции это состояние остается тензорным произведением

|ψ (t)⟩ = |ψ_A (t)⟩ ⊗ |ψ_B (t)⟩,

где каждое |ψ_A,B (t)⟩ есть решение уравнения Шрёдингера для соответствующего гамильтониана Ĥ_A,B;

b) если некоторые |ψ_A⟩ и |ψ_B⟩ являются собственными состояниями своих гамильтонианов с энергиями E_A и E_B соответственно, то состояние |Ψ⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩ в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B есть собственное состояние полного гамильтониана Ĥ с энергией E = E_A + E_B;

c) ^* любое собственное состояние гамильтониана, соответствующего энергии E, может быть записано как линейная комбинация произведений вида |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩, где |ψ_A,B⟩ — собственные состояния гамильтониана для отдельных гильбертовых пространств, Ĥ_A,B |ψ_A,B⟩ = E_A,B |ψ_A,B⟩, с E = E_A + E_B.

2.2. Локальные измерения запутанных состояний

Как мы видели в последнем упражнении, расширение постулата об измерениях на двусоставные системы достаточно прямолинейно, если два наблюдателя производят измерения на своих гильбертовых пространствах одновременно. Однако, поскольку эти два наблюдателя независимы, может оказаться, что только один из них (например, Алиса) производит измерение, тогда как другой (Боб) этого не делает. Мы называем это локальным измерением.

2.2.1. Удаленное приготовление состояния