Отличная квантовая механика

Поскольку векторы |+⟩ и |—⟩ ортогональны, ортогональны также |+⟩ ⊗ |b₊⟩ и |—⟩ ⊗ |b_—⟩ в соответствии с уравнением (2.4). Это означает, что мы можем построить в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B ортонормальный базис, содержащий упомянутые состояния в качестве элементов. Если мы измерим |Ψ⟩ в этом базисе, то получим |+⟩ ⊗ |b₊⟩ с вероятностью с вероятностью Но это, в свою очередь, означает, что если только Алиса будет проводить измерение на своем фотоне, то она увидит состояние |+⟩ с вероятностью с вероятностью Действительно, если Алиса наблюдает у себя |+⟩, то состояние фотона Боба с определенностью становится |b₊⟩, а если Алиса наблюдает |—⟩, оно становится |b_—⟩.

Мы видим, что для ответа на вопрос, поставленный в начале этого подраздела, достаточно переписать начальное запутанное состояние в виде линейной комбинации таких тензорных произведений, в каждом из которых компонент Алисы представляет собой элемент ее измерительного базиса. Проведем то же рассуждение в более общем виде.

Предположим, начальное состояние

где {|𝑣_i⟩} — ортонормальный базис, в котором Алиса будет проводить свое измерение, а {|ω_j⟩} — некоторый ортонормальный базис в гильбертовом пространстве Боба. Перепишем это в виде:

где есть вектор в гильбертовом пространстве Боба и

есть нормирующий множитель, такой что ║|b_i⟩║ = 1 для любого i (в сумме (2.15) мы опускаем слагаемые с так что все 𝓝_i конечны).

Таким образом, мы выразили состояние, которое предстоит измерить, в виде суммы ортогональных компонентов |𝑣_i⟩ ⊗ |b_i⟩. Амплитуды этих компонентов равны 1/𝓝_i, так что вероятность, с которой Алиса увидит соответствующий |𝑣_i⟩, равна pr_A,i = 1/𝓝_i². Всякий раз, когда это происходит, система Боба принимает соответствующее состояние |b_i⟩.

Упражнение 2.29. Для физического состояния |Ψ⟩ покажите, что в (2.15)

Упражнение 2.30. Для состояния |Ψ⟩ = 𝓝 (|RV⟩ + |H+⟩):

a) найдите множитель 𝓝 такой, при котором |Ψ⟩ нормировано;

b) представьте это состояние в виде (2.15), где {|𝑣_i⟩} — канонический базис;

c) найдите вероятности возможных результатов при проведении Алисой локального измерения в каноническом базисе и напишите удаленно приготовленное состояние фотона Боба для каждого из результатов Алисы.

Мы разработали метод предсказания результатов локальных измерений на запутанном состоянии. Этот метод функционален, но несколько неуклюж, так что мы сейчас введем понятие, которое позволит нам существенно упростить процедуру.

Частичное скалярное произведение (partial inner/scalar product) локального состояния |a⟩ в гильбертовом пространстве 𝕍_A и двусоставного состояния в гильбертовом пространстве 𝕍_A ⊗ 𝕍_B (где {|𝑣_i⟩} и {|ω_j⟩} — ортонормальные базисы в 𝕍_A и 𝕍_B соответственно) есть состояние в гильбертовом пространстве 𝕍_B, заданное

Определение для частичного скалярного произведения |Ψ⟩ и локального состояния в пространстве 𝕍_B дается аналогично.

Упражнение 2.31. Для |ψ⟩ = 2 |H⟩ + i|𝕍⟩ найдите _B⟨ψ|Ω⟩ и ⟨Π|ψ⟩_A, где |Ω⟩ = 2 |HH⟩ + 3 |H𝕍⟩ + 4 |𝕍H⟩, |Π⟩ = (2 |H⟩ + i|𝕍⟩) ⊗ (i|H⟩ — |𝕍⟩), а индексы A и B на состоянии |ψ⟩ указывают, что оно локализовано в пространстве Алисы или Боба соответственно.

Упражнение 2.32. Покажите, что для любого разделимого состояния |ab⟩ ∈ 𝕍_A ⊗ 𝕍_B и любого состояния |a'⟩ ∈ 𝕍_A

⟨a' | ab⟩ = ⟨a' | a⟩ |b⟩. (2.18)

Упражнение 2.33. Предположим, что |Ψ⟩ — состояние в пространстве тензорных произведений, а |a⟩ и |b⟩ — состояния в пространствах Алисы и Боба соответственно. Покажите, что

⟨a | (⟨b|Ψ⟩) = ⟨b | (⟨a|Ψ⟩) = ⟨ab|Ψ⟩. (2.19)

Упражнение 2.34. Покажите, что для любых двух ортонормальных базисов {|𝑣_i⟩} ⊗ {|ω_j⟩} и {|v'_i⟩} ⊗ {|ω'_j⟩} в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B локального состояния |a⟩ ∈ 𝕍_A и двусоставного состояния

частичное скалярное произведение ⟨a| Ψ⟩ не зависит от выбора базиса, т. е.

Упражнение 2.35. Покажите, что в уравнении (2.15):

a) |b_i⟩ = 𝓝_i ⟨𝑣_i|Ψ⟩;

b) ║ ⟨𝑣_i|Ψ⟩ ║ = 1/𝓝_i.

Последнее упражнение предлагает прямолинейный способ вычислить разложение (2.15) для заданного состояния и базиса измерения Алисы и, следовательно, вычислить также результаты локальных измерений. И в самом деле, частичное скалярное произведение дает не только состояние |b_i⟩, которое будет приготовлено удаленно в локации Боба, но и вероятность каждого результата на стороне Алисы.

Мы можем рассматривать этот результат как обобщение постулата квантовой физики об измерениях на локальные измерения. Резюмируем его. Локальное измерение Алисы на двусоставном состоянии |Ψ⟩ в базисе {|𝑣_i⟩} вызовет коллапс |Ψ⟩ на одно из случайно выбранных состояний 𝓝_i |𝑣_i⟩ ⊗ ⟨𝑣_i|Ψ⟩ с вероятностью

pr_A,i = ⟨Ψ|𝑣_i⟩ ⟨𝑣_i|Ψ⟩. (2.22)

Это можно переформулировать на языке проекционных операторов (разд. 1.8): измерение Алисы превращает состояние |Ψ⟩ в множество ненормированных состояний а квадрат нормы каждого состояния в этом множестве есть вероятность соответствующего результата.