Отличная квантовая механика

Задача 1.13. Измерения наблюдаемого Â в состоянии |H⟩ дают результаты 0 либо 1, каждый с вероятностью 1/2. Измерения наблюдаемого в состоянии |H⟩ дают результат 2 с вероятностью 3/4 и результат 4 с вероятностью 1/4. Известно также, что Найдите верхнюю границу абсолютной величины x.

Задача 1.14. Найдите

Задача 1.15. Атом описывается в некотором базисе {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩} гамильтонианом

a) Найдите собственные состояния и собственные значения энергии.

b) Энергия этого атома измеряется в состоянии

Найдите вероятности обнаружения каждого собственного значения энергии, а также среднего арифметического и дисперсии этого измерения.

c) Первоначально этот атом находится в состоянии |𝑣₁⟩. Найдите его состояние |ψ (t)⟩ в произвольный момент времени t. Сколько пройдет времени, прежде чем атом вновь окажется в состоянии |𝑣₁⟩ (с точностью до фазового множителя)?

Задача 1.16. Предположим, что оператор (1.5a), связанный с полуволновой пластинкой под углом α, соответствует эволюции под некоторым гамильтонианом в течение времени t₀.

a) Найдите матрицу этого гамильтониана в каноническом базисе.

b) Убедитесь, что эволюция за время t₀/2 породит оператор четвертьволновой пластинки (1.5b).

c) Для гамильтониана, найденного в пункте a), и α = 30º решите дифференциальное уравнение Шрёдингера (1.31) для начального состояния |H⟩. Согласуется ли результат для t = t₀ с тем, что можно было бы ожидать от физики преобразования поляризации?

Задача 1.17. Квантовая система может быть обнаружена в одном из трех ортогональных состояний |a⟩, |b⟩, |c⟩. Эти три состояния образуют ортонормальный базис.  представляет собой оператор, который циклически переставляет эти состояния, т. е. Â|a⟩ = ℏω|b⟩, Â|b⟩ = ℏω|c⟩, Â|c⟩ = ℏω|a⟩, (где ω действительно). Гамильтониан равен Ĥ =  + †.

a) Найдите собственные значения и собственные состояния энергии системы.

b) Найдите эволюцию системы, первоначально находившейся в состоянии |c⟩.

Задача 1.18. Атом имеет два энергетических собственных состояния |𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩ с собственными значениями 0 и 3ℏω соответственно, где w > 0.

a) Напишите матрицу соответствующего гамильтониана Ĥ₀.

b) В момент времени t = 0 включается поле, которое делает гамильтониан равным Напишите матрицу нового гамильтониана и связанный с ней оператор эволюции в базисе {|𝑣₁⟩,|𝑣₂⟩}.

c) В момент времени t = 0 атом находится в состоянии |𝑣₁⟩. Найдите все значения времени t, в которые вероятность обнаружения атома в состоянии |𝑣₂⟩ максимальна.

Глава 2. Запутанность

И лишь тогда, а вовсе не до того, не загодя, не вначале

2.1. Пространство тензорных произведений

2.1.1. Тензорное произведение состояний и запутанные состояния

Рассмотрим две физические системы, разделенные в пространстве и/или во времени, но взаимодействующие между собой или по крайней мере взаимодействовавшие в прошлом. Чтобы исследовать состояния, возникающие после такого взаимодействия, работать с каждой системой в отдельности недостаточно. С ними надлежит иметь дело как с единым гильбертовым пространством, объединяющим гильбертовы пространства, связанные с отдельными системами.

Предположим, например, что у Алисы на Венере имеется[36] горизонтально поляризованный фотон |H⟩, а у Боба на Марсе — фотон в состоянии |V⟩. Тогда мы говорим, что совместное состояние фотонов Алисы и Боба описывается выражением

|H⟩_A ⊗ |V⟩_B ≡ |H⟩|V⟩ ≡ |HV⟩. (2.1)

Такие совместные состояния называются тензорными произведениями[37].

Однако совместное гильбертово пространство содержит не только тензорные произведения. Так, поскольку оно включает в себя состояния |HV⟩ и |VH⟩ и является линейным, то должно также содержать состояние, к примеру, Это физическое состояние, поскольку его норма равна единице. Но его уже нельзя интерпретировать как тензорное произведение, т. е. комбинацию фотона Алисы в одном состоянии и фотона Боба в другом. Это уже нелокальная суперпозиция, или запутанное (entangled) состояние. А именно квантовая суперпозиция двух ситуаций: в одной из них у Алисы горизонтальный фотон, а у Боба вертикальный, в другой — наоборот. Если они измерят поляризацию своих фотонов в каноническом базисе, то обнаружат ортогональные поляризации.

Мы видим, что объединение двух гильбертовых пространств порождает совершенно новый класс состояний, который дает начало новой физике — физике нелокальных квантовых явлений. Это основная тема настоящей главы. Некоторые из таких явлений не только немыслимы с точки зрения классической физики, но и выглядят противоречащими фундаментальному здравому смыслу.