Отличная квантовая механика

Прежде чем мы начнем изучать эту новую физику, нам придется заточить карандаши и обновить наш теоретический аппарат, чтобы его можно было применять к таким составным пространствам. Мы будем все рассуждения проводить для двусоставных (bipartite) пространств, но они могут быть расширены прямолинейным образом на системы с тремя и более частями.

Пространство тензорных произведений (мы также будем применять термин «составное пространство») 𝕍_A ⊗ 𝕍_B гильбертовых пространств 𝕍_A и 𝕍_B есть гильбертово пространство, состоящее из элементов |a⟩ ⊗ |b⟩ (где |a⟩ ∈ 𝕍_A и |b⟩ ∈ 𝕍_B) и их линейных комбинаций. Вот правила, которым подчиняются операции в этом пространстве:

1. Умножение на число:

λ (|a⟩ ⊗ |b⟩) = (λ|a⟩) ⊗ |b⟩ = |a⟩ ⊗ (λ|b⟩). (2.2)

2. Распределительный закон:

(|a₁⟩ + |a₂⟩) ⊗ |b⟩ = |a₁⟩ ⊗ |b⟩ + |a₂⟩ ⊗ |b⟩; (2.3a)

|a⟩ ⊗ (|b₁⟩ + |b₂⟩) = |a⟩ ⊗ |b₁⟩ + |a⟩ ⊗ |b₂⟩. (2.3b)

3. Скалярное произведение двух состояний |a⟩ ⊗ |b⟩ и |a'⟩ ⊗ |b'⟩ в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B задается формулой

⟨ab| a'b'⟩ = ⟨a| a'⟩⟨b| b'⟩. (2.4)

Элементы 𝕍_A ⊗ 𝕍_B, которые могут быть представлены в виде тензорного произведения |a⟩ ⊗ |b⟩, называют разделимыми, или сепарабельными (separable). Остальные запутаны.

Упражнение 2.1. Для любых двух векторов |a⟩ ∈ 𝕍_A и |b⟩ ∈ 𝕍_B покажите, что

Упражнение 2.2. Если заданы ортонормальные базисы и в 𝕍_A и 𝕍_B соответственно, постройте ортонормальный базис в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B. Какова размерность 𝕍_A ⊗ 𝕍_B?

Ответ: множество тензорных произведений {|𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩} есть ортонормальный базис. Размерность составного пространства есть произведение NM размерностей его компонентов.

Например, гильбертово пространство, представляющее поляризации двух фотонов, четырехмерно. Канонический ортонормальный базис в этом пространстве таков: {|HH⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩}.

Упражнение 2.3. Найдите разложение в каноническом базисе для состояния, в котором Алиса имеет фотон, поляризованный под 30°, а фотон Боба находится в состоянии правой круговой поляризации. Напишите матричное представление для этого состояния. Разделимое оно или запутанное?

Упражнение 2.4. Найдите скалярное произведение ⟨Π|Ω⟩, где:

a) |Π⟩ = 5 |HH⟩ + 6i |R — ⟩ и |Ω⟩ = 2 |+L⟩ + 3 |RR⟩;

b) |Π⟩ = i (2 |H⟩ + i |V⟩) ⊗ |R⟩ и |Ω⟩ = (2i |H⟩ — 3i |V⟩) ⊗ |+⟩.

Упражнение 2.5§. Образуют ли множества

a) {|+ +⟩, |— +⟩, |+ —⟩, |— ⟩},

b) {|RR⟩, |RL⟩, |LR⟩, |LL⟩},

c) {|H — ⟩, |H+⟩, |V — ⟩, |V+⟩},

d) {|H — ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩},

e) {|H — ⟩, |HH⟩, |VR⟩, |VL⟩}

базисы в двухфотонном гильбертовом пространстве? Ортонормальны ли эти базисы?

Ответ: все пять множеств образуют базисы; все они, кроме последнего, ортонормальны.

Упражнение 2.6. Покажите, что белловские состояния

запутаны.

Упражнение 2.7. Покажите, что эти четыре белловских состояния образуют ортонормальный базис.

Упражнение 2.8. Перепишите белловские состояния (2.5) в диагональном базисе.

Упражнение 2.9. Пусть |θ⟩ — состояние линейной поляризации под углом θ к горизонтали. Покажите, что для любого θ состояние может быть выражено в виде:

Это означает, что состояние |Ψ^—⟩ изотропно, т. е. остается неизменным вне зависимости от того, какое направление мы определим как горизонтальное (при условии что оно перпендикулярно направлению движения фотонов, разумеется). Этим свойством из всех белловских состояний обладает только |Ψ^—⟩.

2.1.2. Измерения в составных пространствах

Постулат о квантовых измерениях применим к тензорным произведениям гильбертовых пространств в обычном режиме. Базис измерения может состоять как из разделимых, так и из запутанных состояний. Если базис построен в виде тензорного произведения базисов в 𝕍_A и 𝕍_B, как в упр. 2.2, то Алисе и Бобу нужно просто провести измерения в этих базисах в своих гильбертовых пространствах (рис. 2.1).

Отступление 2.1. Как создать запутанное состояние?

Рассмотрим параметрическое рассеяние (отступление 1.6) на последовательности двух нелинейных кристаллов, как показано на рисунке[38]. Кристаллы построены таким образом, что первый из них выдает только пары горизонтально поляризованных фотонов |H⟩ ⊗ |H⟩, а второй — только пары вертикально поляризованных |V⟩ ⊗ |V⟩. Вероятность появления пары мала в обоих кристаллах. Тогда любая пара, если она есть, может находиться либо в состоянии |HH⟩, либо в состоянии |VV⟩. Поскольку расстояние между кристаллами постоянно, постоянна и оптическая фаза между этими двумя парами. Так что состояние двух фотонов, выданных кристаллами, есть

|HH⟩ + e^iϕ|VV⟩.

Выбирая величину ϕ, можно получить любое из белловских состояний |Φ⁺⟩ или |Φ^—⟩. Чтобы превратить эти состояния в |Ψ⁺⟩ или |Ψ^—⟩, достаточно поместить в один из выходных каналов полуволновую пластинку.