Отличная квантовая механика

С таким кодированием также несложно осуществлять однокубитные логические операции. Например, мы можем выполнить логическую операцию отрицания (NOT gate) посредством полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной под углом 3π/4 к горизонтали: состояние |0⟩ (|H⟩) при этом станет |1⟩ (|V⟩) и наоборот (см. упр. 1.24). Еще одна важная операция — вентиль Адамара (Hadamard gate) (см. упр. 1.27) с матрицей который переводит друг в друга состояния канонической и диагональной поляризации. Вентиль Адамара реализуется при помощи полуволновой пластинки, ориентированной под углом π/8 к горизонтали.

Чтобы получить полный диапазон вычислительных возможностей, доступных классическому компьютеру (машине Тьюринга), нам дополнительно потребуются условные операции, в которых кубиты взаимодействуют между собой: состояние одного кубита влияло бы на состояние другого. Теоретическое исследование показало: для постройки универсального квантового компьютера достаточно в дополнение к однокубитным операциям иметь возможность реализации всего лишь одного типа двухкубитных операций: вентиля контролируемого отрицания [controlled NOT (C-NOT) gate]. Реализация такой операции — святой Грааль квантовых вычислений в любой физической системе. Особенно сложно добиться этого от фотонов.

Вентиль C-NOT предполагает участие двух кубитов: управляющего и целевого. Если состояние управляющего кубита |0⟩, то вентиль не изменяет значений кубитов. Но если управляющий кубит равен |1⟩, то значение целевого кубита «переворачивается»: |0⟩ становится |1⟩, а |1⟩ становится |0⟩. Это показано в табл. 2.2[70].

Вентиль C-NOT можно представить себе в виде гномика, который смотрит на поляризацию управляющего фотона и, если она вертикальна, вставляет на пути целевого фотона полуволновую пластинку под углом 45º. Проблема в том, что гномик должен каким-то образом проделывать это без измерения управляющего фотона, поскольку такое измерение запутало бы его (гномика) с кубитами и вызвало коллапс их квантового состояния (подразд. 2.4.1). Как явствует из следующих упражнений, это теоретически возможно.

Упражнение 2.61. Напишите матрицы операторов, соответствующие следующим операциям над парой кубитов. Логическое состояние |0⟩ кодируется горизонтальной поляризацией, а логическое состояние |1⟩ — вертикальной.

a) Вентиль C-NOT.

b) Операция, которая оставляет состояния |00⟩, |01⟩, |10⟩ в неизменном виде, но умножает состояние |11⟩ на фазовый множитель –1 (управляемый фазовый сдвиг, или вентиль C-Phase).

c) Тензорное произведение единичного оператора для первого кубита и вентиля Адамара для второго (целевого) фотона.

Унитарны ли эти операции?

Упражнение 2.62. Покажите, что вентиль C-NOT может быть построен путем последовательного применения вентиля Адамара в пространстве Боба, управляемого фазового сдвига и вновь вентиля Адамара в пространстве Боба (рис. 2.7).

Упражнение 2.63. Покажите, что вентиль C-Phase между двумя фотонами может быть реализован действием гамильтониана Ĥ = ℏω|VV⟩⟨VV| в течение времени π/ω.

Подсказка: другие собственные состояния гамильтониана (|HH⟩, |HV⟩ и |VH⟩) соответствуют нулевым значениям энергии.

Упражнение 2.64. Покажите, что вентиль C-NOT представляет собой измерение фон Неймана в смысле (2.33) для N = M = 2 при |ω₀⟩ = |ω₁⟩.

Упр. 2.62 показывает, что если у нас имеется вентиль C-Phase, то с его помощью можно построить вентиль C-NOT. Это не решает задачи, но сводит ее к несколько более простой: вместо того чтобы изменять значения кубитов, нам достаточно всего лишь изменить их фазы. В применении к фотонам для реализации вентиля C-Phase требуется оптический элемент, в котором фотон претерпевал бы различные фазовые сдвиги (т. е. различные показатели преломления) в зависимости от поляризации присутствующего там же другого фотона. Это не то, что мы обыкновенно наблюдаем в оптике: как правило, если в одной и той же среде присутствуют множественные световые волны, они не взаимодействуют, но распространяются независимо от других волн. Ситуации, в которых электромагнитные волны влияют друг на друга, относятся к классу нелинейных оптических явлений. Нелинейные свойства наблюдаются в привычных нам средах, таких как стекло или кристаллы, только когда по крайней мере одно из полей чрезвычайно мощно, на уровне триллионов фотонов. Сделать нелинейные оптические эффекты значительными на уровнях оптической интенсивности, соответствующих единичным фотонам, — сложная задача, изучением которой в настоящее время занимается множество научных групп.

Упражнение 2.65. Покажите, что операторы из упр. 2.61 (a, b) могут преобразовать разделимое состояние в запутанное (ср.: упр. 2.17).

Упражнение 2.66. Допустим, у вас есть вентиль C-NOT для фотонов. Предложите схему, которая использует этот вентиль для реализации измерения двух фотонов в базисе Белла.