Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

В 1968 году в Лос-Анджелесе ошибка конечного вопроса отправила за решетку Малькольма Коллинза и его жену Джанет. На первый взгляд, обстоятельства дела практически не оставляли места для сомнений: пожилую даму ограбили белая женщина-блондинка и темнокожий усатый мужчина, после чего преступная парочка скрылась на желтой машине. Эксперты подсчитали: шансы найти межрасовую пару, отвечающую этому описанию, составляют 1 на 12 миллионов.

Полицию это убедило. Присяжные тоже не особенно спорили. Они полагали: есть шанс 1 на 12 миллионов, что описание обвиняемой пары не соответствуют описанию преступников. Они полагали: такова же и вероятность ее невиновности.

Они ошибались и в том, и в другом. В таком городе, как Лос-Анджелес, в котором живут и через который проезжают миллионы представителей всевозможных рас, наверняка нашлась бы по меньшей мере еще одна такая пара, и у Коллинзов были бы равные с нею шансы оказаться невиновными (или даже более высокие). Не говоря уж о том, что само описание преступников могло оказаться неточным. Все эти факты помогли успешно обжаловать приговор.

3. Пренебрежение исходной выборкой

Всякий, кто хочет воспользоваться определением ДНК-профиля как быстрой дорожкой для вынесения обвинительного приговора, должен осознавать: генетические доказательства могут быть шаткими. Даже если шансы найти еще одно генетическое совпадение составляют один на миллиард, в мире, где живет 7 миллиардов человек, это означает, что есть еще семь носителей такого же профиля.

К счастью, косвенные и криминалистические доказательства часто довольно быстро сужают группу подозреваемых. Но пренебрежение «исходной выборкой» (всем набором возможных носителей изучаемых совпадений) способно привести к неверным выводам, и не только в зале суда.

Допустим, некто попадает в операционную. У него только что диагностировали смертельную болезнь, которая поражает одного человека из каждых 10 тысяч. Точность диагноза – 99 %. Какова вероятность, что пациент действительно болен этим недугом?

На самом деле она меньше 1 %. Причина этого – сама по себе малая распространенность заболевания, означающая, что даже при диагностике с 99-процентной точностью ложноположительные результаты намного перевешивают истинноположительные (см. схему). Вот почему так важно провести дополнительные исследования, чтобы уменьшить вероятности. Такие результаты, столь противоречащие интуиции, поражают не только непрофессионалов: опросы показывают, что 85–90 % работающих в области медицины также интерпретируют эти вероятности неверно.

Только без паники

Вам поставили диагноз: редкая болезнь, поражающая одного из 10 тысяч. Точность диагноза – 99 %. Надеяться или отчаиваться?

Если точность диагноза – всего 99 %, то 1 % от оставшегося (здорового) населения также даст положительный результат при тестировании:

А значит, если данные тестирования положительны, при прочих равных условиях вероятность того, что у вас нет этой болезни, превышает 99 %. Есть смысл надеяться.

4. Адвокатская ошибка

Не только прокуроры могут выворачивать в свою пользу представляемую в суде статистику. Защитников тоже не раз ловили на избирательном отношении к вероятностям.

В 1995 году О. Джей Симпсон, когда-то считавшийся звездой американского футбола, предстал перед судом по обвинению в убийстве своей жены Николь Браун и ее друга. За несколько лет до этого, во время другого процесса, Симпсон заявил, что не оспаривает обвинение в домашнем насилии против Браун. В попытке сыграть на этом факте Алан Дершовиц, консультант защиты Симпсона, заявил, что в среднем менее чем одна из 1000 женщин, подвергавшихся домашнему насилию со стороны своих мужей или бойфрендов, затем оказывалась убита ими.

Может, и так, но это не самый значимый факт в данном деле, как позже продемонстрировал Джон Аллен Паулос, математик из Темпльского университета (Филадельфия, штат Пенсильвания). Как показывает расчет по байесовскому методу, учитывающий все относящиеся к делу факты, сообщение Дершовица совершенно затмевается 80-процентной вероятностью того, что если женщина подверглась домашнему насилию и затем оказалась убитой, то виновный – ее партнер.

Но, возможно, и это еще не все, замечает криминолог Уильям Томпсон из Калифорнийского университета в Ирвайне. Если более 80 % всех убитых женщин (и подвергавшихся до этого домашнему насилию, и избежавших его) убиты своим партнером, «факты предшествующего домашнего насилия могут вообще не иметь никакой диагностической ценности».

5. Ошибка обусловленного доказательства

Иногда математическая логика покидает зал судебного заседания задолго до того, как можно было бы применить байесовский метод, потому что используются не те вероятности.