Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

Правосудие по Байесу

Можете ли вы стать байесовским присяжным? Как показывает пример ниже, это не так-то просто. Допустим, у вас имеется некая улика (E, evidence) с места преступления (пятно крови или, скажем, нитка из одежды), которая совпадает с данными подозреваемого.

Как она должна повлиять на ваше восприятие – на вашу гипотезу (H, hypothesis) касательно невиновности подозреваемого?

Теорема Байеса показывает, как с учетом Е вычислить вероятность гипотезы H.

P (H | E) = (P (H) × P (E | H))/P (E),

где P (H) – вероятность гипотезы H (т. е. насколько она вероятна вообще),

P (E | H) – вероятность для улики Е с учетом гипотезы Н,

Р (Е) – полная вероятность для улики Е.

Допустим, вы заседаете в жюри присяжных на процессе по делу о нападении с применением насилия. Какое-то время вы на 60 % уверены, что подсудимый невиновен, т. е. для вас P (H) = 0,6. Затем вам сообщили, что и кровь подсудимого, и кровь, обнаруженная на месте преступления, относится к группе В, которая характеризует около 10 % жителей страны. Как это должно повлиять на ваше суждение? Увеличилась или уменьшались, на ваш взгляд, вероятность вины подсудимого?

Эксперт-криминалист, сообщивший эти данные, привел вероятность того, что характеристика улики соответствует кому-то из невиновных жителей страны: P (E | H) = 0,1. Чтобы применить формулу Байеса и найти P (H | E), вашу новую оценку невиновности подсудимого, нужно знать, чему равна Р (Е), вероятность того, что кровь обвиняемого – такая же, как и в образце, найденном на месте преступления.

Между тем эта вероятность как раз зависит от того, виновен ли подсудимый. Если он невиновен, она равна 0,1, как и для всякого невиновного (см. выше). Если же он виновен, она равна 1, т. к. кровь у него совершенно точно такая же, как и в образце с места преступления. Благодаря этому рассуждению можно рассчитать полную вероятность Р (Е), просуммировав вероятности совпадения характеристик крови в случае невиновности (H) или виновности (не Н):

P (E) = [P (E | H) × P (H)] + [P (E | не H) × P (не H)] = = (0,1 × 0,6) + (1 × 0,4) = 0,46.

А значит, согласно формуле Байеса, «исправленная» вероятность невиновности такова:

P (H | E) = (0,6 × 0,1) / 0,46 = 0,13.

Как и следовало ожидать, после сообщений эксперта вероятность невиновности подсудимого резко упала. Теперь он (возможно) в 4–5 раз виновнее, чем вы думали прежде.

Мирные переговоры в области вероятностей