Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Мир на удивление охотно следует максиме «всё, что возможно, где-то реализуется». В природе и в самом деле встречаются неразличимые объекты обоих классов: те, для которых волновая функция совсем не меняется, и те, для которых она приобретает лишний знак минус при перестановке двух объектов. Те, для которых совсем не меняется, называются бозонами, а те, что грешат лишним минусом, – фермионами{109}.

Выразительные следствия имеются в каждом случае, но ситуация с фермионами ярче: для них отсюда следует принцип Паули, запрещающий одинаковые состояния в коллективе частиц. Мы им уже пользовались «взаймы», а сейчас можно увидеть, каким образом он получается из того самого минуса. Если имеются два одинаковых состояния, то при их перестановке волновая функция, разумеется, не меняется никак, но одновременно, по общему правилу для фермионов, она приобретает лишний минус. Единственное, что не меняется от лишнего знака минус, – число 0. Следовательно, волновая функция с двумя фермионами в одном и том же состоянии равна нулю – и вероятность встретить такую картину тоже равна нулю. Таким-то образом фермионы и оказываются абсолютно нетерпимы к себе подобным.

Возвращаясь к тому, как описывать переменное число частиц: вновь спасибо волновой функции за то, что она позволяет комбинировать «что угодно» с помощью безобидного с виду знака плюс (который мы многократно использовали, говоря о состояниях типа «спин вверх плюс спин вниз»). Теперь предлагается без тени сомнения подобным же образом комбинировать состояния, описывающие один, два, три и т. д. неразличимых объекта – разумеется, заранее побеспокоившись, чтобы каждое из этих состояний не изменялось при перестановках частиц, если они бозоны, и приобретало минус, если фермионы. Математическое пространство, в котором помещаются все эти состояния, называется пространством Фока. Это, если угодно, конструкция с бесконечным количеством этажей: на первом живут одночастичные волновые функции, на втором – двухчастичные, и т. д. На каждом следующем этаже все больше разнообразия, поэтому вполне можно представлять себе, что с набором высоты этажи расширяются; и все это странное «здание» продолжается вверх без ограничения. Математика это позволяет.

А далее в этом математическом пространстве, содержащем все возможные многочастичные состояния, происходит «квантовое чудо» с радикальными последствиями для фундаментальной картины мира. В его структуре обнаруживается бесконечный набор квантовых колебательных систем. Такие системы встречались нам в главе 4 – с угрозой, что они появятся снова, причем на более фундаментальном уровне. Эту угрозу я сейчас и привожу в действие.

Обычные колебательные системы ассоциируются с тем или иным видом упругости – которая, собственно, и определяет частоту их колебаний. Но здесь откуда берется что-нибудь в этом роде? Квантовая механика прекрасна своей абстрактностью, полностью избавляя нас от мучительной обязанности изобретать «наглядные», но несуществующие подробности. Квантовая колебательная система существует постольку, поскольку выполнены все необходимые формальные свойства, ведь картины «что, как и куда движется» для квантовых колебаний все равно нет! А с формальными свойствами дело обстоит следующим образом.

Ключевое свойство квантовых колебаний, как мы говорили, – дискретные значения энергии, разделенные интервалами постоянной ширины: имеется бесконечно уходящая вверх «лестница» разрешенных значений энергии. За «сооружением» этой лестницы в глубине квантовой механики стоят пары операций, изменяющих волновую функцию: одна операция превращает волновую функцию, отвечающую каждой ступеньке, в следующую по порядку возрастания энергии, а другая – в предыдущую. Причина дискретности – вражда между этими «лестничными операциями», повышающей и понижающей. (Как мы говорили в главе 3, на самом фундаментальном уровне вражда происходит из взаимоотношения абстрактных операций; они воздействуют на волновые функции, как мы видели в главе 9, и вражду можно «измерить», сравнивая результаты применения операций в разном порядке.) Повышающая и понижающая лестничные операции, должным образом враждующие друг с другом, и берут на себя почти всю работу по определению квантовой колебательной системы, никакие наглядные образы при этом не нужны. В дополнение требуется только конкретное расстояние между энергетическими ступеньками (которое для неквантовой колебательной системы связано с упругостью и определяет частоту колебаний).

Удивительным образом в системе с переменным числом неразличимых частиц обнаруживается все необходимое для существования квантовых колебательных систем! А когда система с переменным числом частиц рассматривается в качестве организованного набора квантовых колебательных систем, она принимает вид квантового поля.