Стратегические игры

Таким образом, концепция рационализации представляет собой возможный способ решения игр с отсутствием равновесия Нэша. Что еще более важно, эта концепция подсказывает нам, как сократить совокупность вероятных исходов игры исключительно на основании рациональности.

Б. Рационализация может привести к равновесию Нэша

В некоторых играх итеративное исключение стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом, может сократить всю совокупность возможных исходов до равновесия Нэша. Обратите внимание, что мы сказали «может», а не «должно». Но если подобное все же происходит, это очень полезно, поскольку позволяет подкрепить доводы в пользу равновесия Нэша путем утверждения, что оно следует исключительно из рациональных мнений игроков о рассуждениях друг друга. Интересно, что один класс игр, решаемых таким способом, играет важную роль в экономике. К нему относится конкуренция между компаниями при определении количества производимой продукции, когда они знают, что от ее общего объема на рынке зависит цена.

Мы проиллюстрируем игру такого типа в контексте небольшого прибрежного городка. В нем две некие рыбацкие лодки каждый вечер уходят в море, а утром возвращаются с уловом и выставляют его на рынок. Игра разыгрывается во времена, когда еще не было современного холодильного оборудования, поэтому вся рыба должна быть продана и съедена в тот же день. В океане неподалеку от города полно рыбы, поэтому владелец каждой лодки может решать, сколько рыбы поймать за ночь. Но каждый из них также знает, что избыток рыбы на рынке приведет к снижению цен и прибыли.

Предположим, что если одна лодка выставит на рынок R бочек рыбы, а другая S бочек, то цена P (в дукатах за бочку) будет равна P = 60 — (R + S). Допустим также, что две лодки и их команды несколько отличаются по эффективности рыбной ловли: затраты первой лодки на ловлю рыбы составляют 30 дукатов на одну бочку, тогда как второй — 36 дукатов на бочку.

Теперь мы можем записать формулы определения прибыли двух владельцев лодок U и V с учетом их стратегий R и S.

U = [(60 — R — S) — 30]R = (30 — S)R — R²,

V = [(60 — R — S) — 36]S = (24 — R)S — S².

На основании этих формул выигрышей можно построить кривые наилучших ответов и найти равновесие Нэша. Как и в примере игры с ценовой конкуренцией из раздела 1, выигрыш каждого игрока представляет собой квадратичную функцию его собственной стратегии при условии неизменности стратегии другого игрока. Следовательно, в данном случае можно применить математические методы, изложенные в разделе 1 данной главы и в приложении к ней.

Наилучший ответ первой лодки R должен максимизировать значение U для каждого заданного значения S другой лодки. При использовании дифференциального исчисления это означает, что мы должны продифференцировать U по R при фиксированном значении S и приравнять производную к нулю, что дает следующее уравнение:

(30 — S) — 2R = 0; R = 15 — S / 2.

Подход без дифференциального исчисления использует результат, согласно которому значение R, максимизирующее значение U, равно R = B / (2C), где B = 30 — S, а C = 1. Это дает R = (30 — S) / 2, или R = 15 — S / 2.

Аналогичным образом уравнение наилучшего ответа второй лодки можно найти, выбрав значение S, максимизирующее значение V при каждом фиксированном значении R, что дает следующее значение:

Равновесие Нэша можно найти посредством совместного решения двух уравнений наилучших ответов для R и S, что не так уж трудно сделать[68], поэтому мы просто приведем результаты. Количество: R = 12, S = 6; цена: P = 42; прибыль: U = 144, V = 36.

На рис. 5.7 представлены графики наилучших ответов двух рыбаков (обозначенные как BR1 и BR2 с указанием соответствующих уравнений), а также равновесие Нэша (обозначенное как N с указанием координат) на пересечении двух линий. Кроме того, на рис. 5.7 также показано, как сократить совокупность убеждений игроков в отношении выбора друг друга посредством итеративного исключения стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом.

Рис. 5.7. Поиск равновесия Нэша с помощью рационализации

Какие значения S, по рациональному убеждению владельца первой лодки, выберет владелец второй лодки? Это зависит от того, какой улов, по мнению владельца второй лодки, получит владелец первой лодки. Но каким бы ни был этот улов, наилучшие ответы владельца второй лодки находятся в диапазоне от 0 до 12 бочек. Следовательно, владелец первой лодки не может рационально считать, что владелец второй лодки выберет что-то другое: все отрицательные варианты выбора (что очевидно) и все значения S, превышающие 12 бочек (что менее очевидно), исключаются. Точно так же владелец второй лодки не может рационально считать, что владелец первой лодки выловит рыбы меньше 0 или больше 15 бочек.