Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Эти ряды чисел можно принять за записи торговых счетов, но при их внимательном изучении было сделано выдающееся открытие: это список пифагоровых троек по формуле а² + b² = с². Таким образом, табличка Плимптона доказывает, что вавилоняне знали элементарную геометрию и начала алгебры.

Как вавилоняне нашли эти пифагоровы тройки? Почему они их интересовали? Для составления этой таблицы они, возможно, использовали известный им алгоритм, который оставался в забвении следующие 1500 лет, до Евклида с его «Началами».

I.	II.b	III.d	IV.	l
(1) 59 00 15	159	2 49	1	2 00
(1) 56 56 58 14 50 06 15	56 07	3121 [1 20 25]	2	57 36
(1) 55 07 4115 33 45	116 41	150 49	3	120 00
(1) 53 10 29 32 52 16	3 3149	5 09 01	4	3 45 00
(1)48 54 0140	105	137	5	112
(1) 47 06 4140	519	8 01	6	600
(1) 43 11 56 28 26 40	38 11	59 01	7	45 00
(1) 41 33 59 03 45	1319	20 49	8	16 00
(1) 38 33 36 36	901 [801]	12 49	9	10
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40	122 41	216 01	10	148 00
(1) 33 45	45	115	11	100
(1) 29 21 54 02 15	27 59	48 49	12	40 00
(1) 27 00 03 45	7121 [2 41]	4 49	13	4 00
(1) 25 48 5135 06 40	29 31	53 49	14	45 00
(1) 23 13 46 40	56	53 [146]	15	130

На следующей странице в таблице показаны 15 из 38 пифагоровых троек из этой таблички. Хотя клинописные символы заменены на привычные цифры, для понимания таблицы нужно сделать несколько уточнений. Четвертая колонка содержит номер строки. Вторая и третья колонки показывают значение гипотенузы и катета прямоугольного треугольника, записанные в шестидесятеричной системе. В последней колонке, обозначенной буквой «l», находятся значения второго катета. Содержимое первой колонки вызывает некоторое удивление, потому что там представлен квадрат соотношения d, деленного на l. Это значение можно было бы охарактеризовать как квадрат некоей тригонометрической функции. Рассмотрим первую строку вавилонской таблички, использовав десятеричную систему. В колонке II обозначена длина катета b=119 (что в шестидесятеричной системе записывается как 159 — одна «шестидесятая» плюс 59. — Примеч. перев.), а в колонке III — гипотенуза d =169 (записано как 249 — две «шестидесятой» плюс 49). Из этих величин вытекает длина другого катета, l = = 120 (200 — две «шестидесятки»). В таблице ниже эти значения переведены в десятеричную систему, по ней легче проверить соответствующие соотношения.

Номер строки	l	b	d
1	120	119	169
2	3456	3367	4825
3	4800	4601	6649
4	13500	12709	18541
5	72	65	97
6	360	319	481
7	2700	2291	3541
8	960	799	1249
9	600	481	769
10	6480	4961	8161
11	60	45	75
12	2400	1679	2929
13	240	161	289
14	2700	1771	3229
15	90	56	106

ЗЕМЛЕМЕРИЕ В ЕГИПТЕ

В Египте математика была менее развита, чем в Междуречье. Сведения о ней происходят из пяти папирусов, посвященных математическим вопросам, среди которых самые важные — это папирус Ринда, обнаруженный в 1858 году шотландским египтологом Александром Генри Риндом (1833-1863) и ныне хранящийся в Британском музее, и Московский папирус, находящийся в коллекции Пушкинского музея в Москве. Два этих документа восходят, по всей видимости, к XVIII веку до н.э., хотя, возможно, они еще более древние. Оба папируса представляют исключительную ценность для историков математики, и весьма показательно, что ни в одном из них нет никаких свидетельств о теореме, известной сегодня как теорема Пифагора, или о пифагоровых тройках.

Во всяком случае, египтяне знали о том, что треугольники с соотношением сторон 3, 4, 5, а также пропорциональные им, прямоугольные и широко пользовались этим соотношением, когда надо было начертить две перпендикулярные линии, так что треугольник 3:4:5 даже получил название египетского.

О его применении, среди прочих, рассказывает Геродот в своем описании работы землемеров после сдвигов почвы, вызванных разливами Нила. Засвидетельствовано использование египетского треугольника и в строительстве, к примеру, при возведении огромной пирамиды Хефрена, восходящей к XXVI веку до н.э.

Ясное указание на пифагорово соотношение появляется в различных египетских расчетах, однако до нас не дошло никаких свидетельств, что это соотношение было сформулировано в общей форме. К примеру, в одном из документов XII династии (ок. 2000 до н.э.), найденном в Кахуне, используется выражение

l² = (3/4)² = (1+1/4)²,