В поисках бесконечности

Совершенно тем же способом можно узнать, что число зрителей в театре равно числу театральных кресел. Если во время спектакля все места заняты, причем никто из зрителей не стоит в проходах и на каждом месте сидит один зритель, то можно быть уверенным, что зрителей ровно столько же, сколько и театральных кресел.

На каждый прилив — по отливу.

Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множества имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих множеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств. Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи "оркестра", а придется самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в "танцующие пары".

Итак, пусть у нас даны два множества А и В. Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (a, b) так, что:

   1. элемент a принадлежит множеству A, а элемент b — множеству B;

   2. каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару.

Например, если множество A состоит из юношей на танцплощадке, а множество B — из девушек на той же площадке, то пары (a, b) образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Если множество A состоит из зрителей, а множество B — из театральных кресел, то пара (a, b) образуется из зрителя и кресла, на котором он сидит. Читатель сам легко придумает разнообразные примеры таких соответствий между множествами равной численности.

Разумеется, не всякое соответствие между множествами является взаимно однозначным. Если множество A состоит из всех деревьев на Земле, а множество B — из растущих на них плодов, то между этими множествами можно установить соответствие: каждому плоду сопоставить дерево, на котором он растет. Но это соответствие не будет взаимно однозначным: на некоторых деревьях растет помногу плодов, а другие сейчас не плодоносят. Поэтому одни элементы a (деревья) будут участвовать во многих парах, а другие элементы a не войдут ни в одну пару.

Существование взаимно однозначного соответствия для конечных множеств равносильно тому, что у них поровну элементов. Важнейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств.

Иными словами, по Кантору, два (быть может, и бесконечных) множества A и B имеют поровну элементов, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

Обычно математики не говорят, что "множества A и B имеют поровну элементов", а говорят, что "A и B имеют одинаковую мощность" или "множества A и B эквивалентны".

Таким образом, для бесконечных множеств слово мощность значит то же самое, что для конечных множеств "число элементов".

Еще до Кантора к понятию взаимно однозначного соответствия пришел чешский ученый Б. Больцано. Но он отступил перед трудностями, к которым вело это понятие. Как мы вскоре увидим, после принятия принципа сравнения бесконечных множеств с помощью взаимно однозначного соответствия пришлось расстаться со многими догмами.

Равна ли часть целому?

Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого. Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № n переезжал в № 2n. Иными словами, расселение шло по следующей схеме:

Но эта схема устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел

1, 2, 3, ..., n, ...

и его частью — множеством четных чисел

2, 4, 6, ..., 2n, ...

А мы договорились считать, что множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат поровну элементов. Значит, множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть — множество четных чисел.

Точно так же можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида

10, 100, 1000, 10 000, ...

Для этого надо сопоставить каждому натуральному числу n число 10ⁿ:

n→10ⁿ.

Этим желаемое взаимно однозначное соответствие и устанавливается. Аналогично устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех квадратов натуральных чисел:

n→n²

или множеством всех кубов натуральных чисел:

n→n³

и т. д.

Вообще между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку числа из этой части.