В поисках бесконечности

Мне вспомнилось по этому поводу, что, когда раболепные римские сенаторы предложили императору Тиберию переименовать в его честь месяц сентябрь в "тиберий" (предыдущие месяцы уже получили имена императоров Юлия и Августа), он язвительно спросил их: "А что же вы предложите тринадцатому цезарю?"

Неплохой вариант предложил бухгалтер гостиницы. Он посоветовал воспользоваться свойствами геометрической прогрессии и расселить постояльцев так: жителей первой гостиницы — в № 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. (эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2). Жителей второй гостиницы — в № 3, 9, 27, 81 и т. д. (а эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3). Так же предложил он расселять и жителей остальных гостиниц. Но директор спросил его:

- А для третьей гостиницы надо использовать прогрессию со знаменателем 4?

- Конечно,- ответил бухгалтер.

- Тогда ничего не получится, ведь в четвертом номере уже живет обитатель первой гостиницы, а теперь туда же надо вселить и жителя третьей гостиницы.

Настала моя очередь показать, что не зря в Звездной академии пять лет изучают математику.

- Воспользуйтесь простыми числами! Поселите жителей первой гостиницы в № 2, 4, 8, 16,..., второй — в № 3, 9, 27, 81,..., третьей — в № 5, 25, 125, 625,..., четвертой — в № 7, 49, 343,... .- А не получится ли опять, что в один номер придется помещать двух постояльцев? — спросил директор.

- Нет! Ведь если взять два простых числа, то никакие их степени с натуральными показателями не могут оказаться равными. Если p и q — простые числа, причем p≠q, а m и n — натуральные числа, то p^m≠qⁿ.

Директор согласился со мной и тут же нашел усовершенствование предложенного способа, при котором использовались лишь два простых числа: 2 и 3. Именно, он предложил поселить жильца из m-го номера n-й гостиницы в номер 2^m3ⁿ. Дело в том, что если m≠p или n≠q, то 2^m3ⁿ≠2^p3^q. Поэтому в один и тот же номер пе поселятся двое.

Это предложение привело всех в восторг. Была решена задача, всем казавшаяся неразрешимой. Но премии не получил ни я, ни директор — при наших решениях слишком много номеров оставались пустыми (у меня такие номера, как 6, 10, 12, и вообще все номера, которые не были степенями простых чисел, а у директора номера, которые нельзя записать в виде 2^m3ⁿ). Самое лучшее решение предложил один из филателистов — президент Математической академии галактики Лебедя.

Он посоветовал сначала составить таблицу, занумеровав ее строки номерами гостиниц, а столбцы — номерами комнат. Например, на пересечении четвертой строки и шестого столбца записывается шестая комната четвертой гостиницы. Вот эта таблица (вернее, ее левая верхняя часть, так как для записи всей таблицы надо бесконечно много строк и столбцов):

- А теперь расселяйте обитателей по квадратам,- сказал математик-филателист.

- Как?- не понял директор.

- По квадратам! В № 1 поселяется жилец из (1,1), то есть из первого номера первой гостиницы; в № 2 — из (1,2), то есть из второго номера первой гостиницы; в № 3 — из (2,2) — второго номера второй гостиницы и в № 4 — из (2,1) — первого номера второй гостиницы. Тем самым будут расселены жильцы из верхнего левого квадрата со стороной 2. После этого в № 5 поселяем жильца из (1,3), в № 6 — из (2,3), в № 7 — из (3,3), в № 8 — из (3,2), в № 9 — из (3,1). (Эти номера образуют квадрат со стороной 3.)

И, взяв листок бумаги, он набросал на нем следующую схему расселения:

- Неужели для всех хватит места?- усомнился директор.

- Конечно. Ведь в первые n² номеров мы поселяем при этой схеме жильцов из первых п номеров первых п гостиниц. Поэтому рано или поздно каждый жилец получит номер. Например, если это жилец из № 136 гостиницы № 217, то он получит номер на 217-м шагу. Легко даже сосчитать этот номер. Он равен 217² — 136 + 1. Вообще, если жилец занимает номер n в m-й гостинице, то при n≥m он займет номер (n-1)² + m, а при n2 — n + 1.

Предложенный проект и был признан наилучшим: все жители из всех гостиниц были поселены в нашей гостинице и ни один ее номер не пустовал. Математику-филателисту досталась премия — туристическая путевка в галактику ЛЦР-287.

В честь столь удачного размещения директор гостиницы устроил прием, на который пригласил всех ее жильцов. Этот прием также не обошелся без осложнений. Обитатели комнат с четными номерами задержались на полчаса, и, когда они появились, оказалось, что все стулья заняты, хотя гостеприимный хозяин поставил по стулу на каждого гостя. Пришлось подождать, пока все пересели на новые места и освободили необходимое количество стульев (разумеется, ни одного нового стула в зал не внесли). Зато когда стали подавать мороженое, то каждый гость получил по две порции, хотя повар заготовил в точности по одной порции на гостя. Надеюсь, что теперь читатель сам поймет, как все это случилось.