Величайшие математические задачи

Уравнения, которые используются в этих теориях, относятся к общему классу калибровочных теорий поля, известных как теория Янга — Миллса. В 1954 г. Янг Чжэньнин и Роберт Миллс попытались разработать калибровочные теории для объяснения сильного взаимодействия и связанных с ним частиц. Первые попытки закончились неудачей: после квантования поля выяснилось, что массы частиц при этом должны быть нулевыми. В 1960 г. Джеффри Голдстоун, Ёитиро Намбу и Джованни Йона-Лазинио нашли способ обойти эту проблему: они начали с теории, предсказывавшей безмассовые частицы, но затем модифицировали ее, постулировав нарушение некоторых симметрий. Иными словами, слегка изменили уравнения, введя в них новые асимметричные условия. Когда при помощи той же идеи модифицировали теорию Янга — Миллса, то получившиеся уравнения очень хорошо легли и в электромагнитную теорию, и в квантовую хромодинамику.

Янг и Миллс предположили, что калибровочная группа является специальной унитарной группой. К частицам применимы группы SU(2) и SU(3), специальные унитарные группы для двух или трех комплексных измерений, но вообще-то этот математический аппарат работает для любого числа измерений. Их теория в лоб атакует сложную, но неизбежную математическую проблему. В одном отношении электромагнитное поле отличается обманчивой простотой: его калибровочные симметрии коммутативны. В отличие от большинства квантовых операторов фазы можно менять в любом порядке. Но физики-то работали с квантовой теорией поля для субатомных частиц. Там калибровочная группа не коммутативна, что очень затрудняет квантование уравнений.

Добиться успеха Янгу и Миллсу помогло схематическое представление взаимодействий частиц, предложенное Ричардом Фейнманом. Любое квантовое состояние может быть представлено как суперпозиция бесчисленных взаимодействий частиц. К примеру, даже в вакууме есть пары частиц и античастиц, которые на мгновение возникают из небытия и тут же исчезают вновь. Простое столкновение двух частиц порождает умопомрачительный танец, в котором промежуточные частицы появляются и исчезают, мечутся взад и вперед, расщепляются и сливаются. Спасает лишь сочетание двух подходов. Уравнения поля для каждой конкретной фейнмановской диаграммы можно проквантовать, а затем сложить все отдельные вклады и представить себе полный эффект взаимодействия. Более того, самые сложные диаграммы встречаются редко и потому их вклад в общую сумму невелик. Тем не менее здесь есть серьезная проблема. Сумма, если рассматривать ее буквально, бесконечна. Янг и Миллс нашли способ перенормировать расчет таким образом, чтобы исключить бесконечное число слагаемых, которые, по идее, не должны много значить. Осталась конечная сумма, и ее величина очень точно соответствовала реальности. При первом знакомстве эта методика казалась почти непостижимой, но сегодня в ней многое прояснилось.

В 1970-е гг. к делу подключились математики. Майкл Атья обобщил теорию Янга — Миллса на большой класс калибровочных групп. Математика и физика начали подпитываться друг от друга. Работа Эдварда Уиттена и Натана Зайберга над топологическими квантовыми теориями поля породила концепцию суперсимметрии, в которой каждая известная частица имеет «суперсимметричного» партнера: электрону соответствует селектрон, кваркам — скварки. Это предположение упростило математику и позволило сделать кое-какие физические предсказания. Однако никому еще не удалось наблюдать хотя бы одну из этих новых частиц, а некоторые из них, вероятно, уже должны были появиться в экспериментах на Большом адронном коллайдере. В математической ценности этих идей никто не сомневается, а вот их непосредственное значение в физике пока под вопросом. Тем не менее они помогли многое прояснить в теории Янга — Миллса.

Квантовая теория поля — один из наиболее динамично развивающихся передовых рубежей математической физики, поэтому Институт Клэя захотел включить в группу задач тысячелетия что-нибудь из этой области. Выбрали проблему массовой щели. Речь в ней идет о важном математическом вопросе из физики элементарных частиц. Применение полей типа Янга — Миллса для описания элементарных частиц в терминах сильного ядерного взаимодействия сильно зависит от особого квантового свойства, известного как массовая щель. В теории относительности частица, летящая со скоростью света, приобретает бесконечную массу, если только ее масса покоя не равна нулю. Щель в спектре масс позволяет квантовым частицам иметь конечную ненулевую массу, несмотря на то что связанные с ними классические волны движутся со скоростью света. Если массовая щель существует, то любое состояние, не являющееся вакуумом, обладает энергией, превышающей энергию вакуума по крайней мере на некоторую фиксированную величину. Иными словами, существует ненулевой нижний предел массы частицы.