Величайшие математические задачи

Большая часть утверждений, которые мы можем доказать, относится к кривым рангов 0 и 1. Если ранг равен 0, то существует конечное число рациональных решений. Если ранг равен 1, то одно конкретное решение позволяет получить почти все остальные, за исключением, возможно, конечного числа решений. Эти два случая включают все эллиптические кривые вида y² = x³ + px, где p — простое число вида 8k + 5 (такое, как 13, 29, 37 и т. д.). Предполагается, что в этих случаях ранг всегда равен 1, что подразумевает существование бесконечного числа рациональных решений. Эндрю Бремнер и Кассельс доказали верность этого утверждения для всех простых чисел соответствующего вида до 1000. Оказалось, что, даже если ранг известен и мал, найти решения, позволяющие получить почти все остальные, может быть очень трудно. Они выяснили, что для p = 877 простейшим решением такого рода является рациональное число

Доказано огромное число теорем, имеющих отношение к гипотезе Берча — Свиннертон-Дайера (обычно с очень серьезными формальными ограничениями), но это пока мало помогло в продвижении к полному решению этой задачи. В 1976 г. Коутс и Уайлс обнаружили первые указания на то, что эта гипотеза может быть верна. Они доказали, что один частный случай эллиптической кривой имеет ранг 0, если L-функция Дирихле не обращается в нуль в точке 1. Для такой эллиптической кривой число решений связанного с ней диофантова уравнения конечно, возможно, равно нулю, и определить это можно по соответствующей L-функции. После этого момента удалось сделать несколько технических шагов, по-прежнему ограниченных в основном рангами 0 и 1. В 1990 г. Виктор Колывагин доказал, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера верна для рангов 0 и 1.

Более детальные гипотезы, требующие серьезной компьютерной поддержки, соотносят константу c в гипотезе Берча — Свиннертон-Дайера с различными концепциями теории чисел. Существуют аналогичные гипотезы — впрочем, столь же загадочные, — для алгебраических числовых полей. Известно также, что большинство (в точном смысле) эллиптических кривых имеет ранг 0 или 1. В 2010 г. Манджул Бхаргава и Арул Шанкар объявили, что им удалось доказать: средний ранг эллиптической кривой не превосходит 7/16. Если это доказательство и доказательство некоторых других недавно опубликованных теорем будут признаны математическим сообществом, то получится, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера верна для ненулевой доли всех эллиптических кривых. Однако речь пока идет о простейших кривых, не представляющих, по существу, кривые более сложной структуры, ранга 2 и более. Они пока остаются для нас загадкой.

15. Комплексные циклы. Гипотеза Ходжа

Некоторые области математики вполне можно соотнести с тем, с чем мы встречаемся в повседневной жизни. Уравнение Навье — Стокса невозможно встретить на кухне, но мы все понимаем, что такое жидкости, и представляем, как они текут. Другие области можно соотнести с эзотерическими вопросами переднего края науки: так, чтобы разобраться в квантовой теории поля, нужна хотя бы докторская степень в области математической физики, но аналогии с электричеством и магнетизмом или такие хоть сколько-то представимые образы, как волны вероятности, позволяют кое-что понять. Третьи можно объяснить при помощи картинок, и хороший пример тому — гипотеза Пуанкаре. Но некоторые области математики не поддаются ни одному из перечисленных способов и никак не позволяют сделать сложные абстрактные понятия доступными.

Гипотеза Ходжа, сформулированная в 1950 г. шотландским геометром Уильямом Ходжем, — одна из таких задач. Проблемы здесь возникают не из-за доказательства, поскольку его просто нет. Все дело в утверждении. Вот так примерно эта задача сформулирована на сайте Института Клэя:

«На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов».

На первый взгляд в этой формулировке понятны, пожалуй, только предлоги и такие слова, как «любой». Остальное понятно, как отдельные слова: «многообразие», «класс», «рациональный», «цикл». Но образы, порождаемые этими словами, — виды в живой природе, школа, разум без эмоций, какой-то повторяющийся процесс — явно относятся не к тому, что имел в виду Институт Клэя. Остальное еще более очевидный жаргон. Но не просто жаргон ради жаргона — не сложные слова, за которыми прячется профессиональная лексика. Точнее, это простые слова для обозначения сложных вещей. В обычном языке нет готовых названий для подобных концепций, так что часть приходится заимствовать в других областях, а часть изобретать заново.