Величайшие математические задачи

Теперь можно сформулировать критерий Таннелла. Нечетное число d, не имеющее квадратных делителей, конгруэнтно тогда и только тогда, когда число (положительных или отрицательных) целых решений x, y, z уравнения

2x² + y² + 8z² = d

точно вдвое превосходит число решений уравнения

2x² + y² + 32z² = d.

Четное число d, не имеющее квадратных делителей, конгруэнтно тогда и только тогда, когда

8x² + 2y² + 16z² = d

точно вдвое превосходит число решений уравнения

8x² + 2y² + 64z² = d.

Эти результаты куда полезнее, чем может показаться на первый взгляд. Поскольку все коэффициенты уравнения положительны, x, y и z по модулю не могут превосходить некие числа, кратные корню квадратному из d. Из этого следует, что число решений конечно и их можно найти систематическим поиском с применением некоторых полезных уловок. Приведем полный расчет нескольких примеров с небольшими d:

• Если d = 1, то единственными решениями первого уравнения являются x = 0, y = ±1, z = 0. То же относится и ко второму уравнению. Так что оба уравнения имеют по два решения, и, следовательно, критерий не выполняется.

• Если d = 2, то единственными решениями первого уравнения являются x = ±1, y = 0, z = 0. То же относится и ко второму уравнению. Так что оба уравнения имеют по два решения, и, следовательно, критерий не выполняется.

• Если d = 3, то единственными решениями первого уравнения являются x = ±1, y = ±1, z = 0. То же относится и ко второму уравнению. Так что оба уравнения имеют по четыре решения, и, следовательно, критерий не выполняется.

• Если d = 5 или 7, то первое уравнение не имеет решений. То же относится и ко второму уравнению. Поскольку дважды нуль равняется нулю, критерий выполняется.

• Если d = 6, то мы должны использовать критерий для четных чисел. Здесь опять же оба уравнения не имеют решений, и критерий выполняется.

Эти простые расчеты показывают, что 1, 2, 3, 4 (= 2² × 1) не являются конгруэнтными, а 5, 6 и 7 — являются. Анализ несложно продолжить, и в 2009 г. команда математиков применила тест Таннелла ко всем числам до триллиона, обнаружив при этом ровно 3 148 379 694 конгруэнтных числа. Исследователи проверили результат, повторив все расчеты дважды на разных компьютерах с использованием разных алгоритмов и программ, написанных двумя независимыми группами программистов. Билл Харт и Гонсало Торнариа пользовались компьютером Selmer в Уорикском университете. Марк Уоткинс, Дэвид Харви и Роберт Брэдшоу работали с компьютером Sage в Вашингтонском университете.

Однако во всех этих расчетах есть пробел. Таннелл доказал, что, если число d конгруэнтно, оно должно удовлетворять его критерию. Таким образом, если критерий не выполняется, число не конгруэнтно. Однако он не сумел доказать обратного: если число удовлетворяет его критерию, то оно обязательно конгруэнтно. Именно это необходимо нам, чтобы сделать вывод о конгруэнтности чисел 5, 6 и 7. В данных конкретных случаях мы можем найти подходящие пифагоровы тройки, но в общем случае это нам не поможет. Таннелл сумел показать, что обратное утверждение, о котором идет речь, непосредственно следует из гипотезы Берча — Свиннертон-Дайера, но она тоже пока не доказана.

Гипотезу Берча — Свиннертон-Дайера, как и несколько других задач тысячелетия, сложно даже сформулировать. (А вы думали, что можно получить миллион долларов, сделав что-нибудь простое?) Однако настойчивость всегда окупается, ведь в процессе работы мы осознаем глубину и оцениваем давние исторические традиции теории чисел. Если вы внимательно посмотрите на название гипотезы, то заметите, что одно тире в нем длиннее другого. Дело в том, что эту гипотезу выдвинули не математики Берч, Свиннертон и Дайер, а Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер. Ее полная формально-математическая формулировка сложна для непосвященных, но речь в ней идет о фундаментальном вопросе диофантовых уравнений — алгебраических уравнений, решения которых ищутся в целых или рациональных числах. Вопрос этот предельно прост: при каких условиях эти уравнения имеют решения?

В главе 6, где речь шла о гипотезе Морделла, и в главе 7, посвященной Великой теореме Ферма, мы встретились с одним из чудеснейших инструментов математики — эллиптическими кривыми. Морделл в свое время высказал, как тогда казалось, случайную догадку, предположив, что число рациональных решений алгебраического уравнения с двумя переменными зависит от топологии соответствующей комплексной кривой. Если род равен 0 — кривая топологически представляет собой сферу, — решения задаются формулой. Если род равен 1 — кривая топологически представляет собой тор, т. е. является эллиптической кривой, — то все рациональные решения могут быть построены из подходящего конечного списка путем приложения структуры группы. Если род равен 2 или больше — кривая топологически представляет собой тор с g отверстиями, где g ≥ 2, — то число решений конечно. Как мы уже видели, Фальтингс доказал эту замечательную теорему в 1983 г.