Величайшие математические задачи

Таким образом, чтобы выяснить что-нибудь полезное об эллиптической кривой, можно рассмотреть все простые числа до определенного предела. Для каждого простого числа можно определить, сколько точек лежит на кривой по модулю этого числа. Берч заметил, что компьютерные эксперименты Свиннертон-Дайера показывают интересную закономерность, если разделить число таких точек на простое число, по модулю которого все рассматривалось. Затем следует перемножить результаты такого деления для всех простых чисел до заданного предела включительно и отложить результаты для последовательных простых чисел на логарифмической бумаге. Интересно, что все данные ложатся недалеко от прямой линии, крутизна которой представляет собой ранг данной эллиптической кривой. Это позволяло предложить гипотетическую формулу для числа решений, связанных с любым простым модулем{40}.

Источник этой формулы, однако, не теория чисел: в ней задействован комплексный анализ, очень любимый в XIX в. и, по счастливому стечению обстоятельств, гораздо более элегантный, чем старомодный действительный анализ. В главе 9, посвященной гипотезе Римана, мы видели, как анализ вытягивает свои щупальца во всех направлениях и проникает в близкие и не очень области математики. Особенно удивительные и мощные связи возникли у него с теорией чисел. Формула Свиннертон-Дайера позволила выдвинуть более подробную гипотезу о типе комплексной функции (я упоминал ее в главе 9), известной как L-функция Дирихле. Эта функция аналогична для эллиптических кривых известной дзета-функции Римана. Эти два математика, очевидно, пытались обогнать время — ведь тогда не было даже наверняка известно, что у каждой эллиптической кривой есть L-функция Дирихле. Это было достаточно произвольное предположение, в пользу которого почти не было данных, но чем дальше шло развитие, тем правдоподобнее казалось это предположение. Это был не прыжок в неведомое, а изумительно точное и дальновидное проявление утонченной математической интуиции. Вместо того чтобы подняться на плечах гигантов, как чаще всего бывает в науке, Берч и Свиннертон-Дайер поднялись на собственных плечах — они были способны самостоятельно держаться в воздухе.

Основной инструмент комплексного анализа — выражение функции в виде степенного ряда, похожего на многочлен, но содержащего бесконечно много слагаемых с все более и более высокими степенями переменной, которую в этой области традиционно обозначают s. Чтобы выяснить, что функция делает около какой-то конкретной точки, скажем, 1, следует использовать степени (s − 1). Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера утверждает, что если разложение L-функции Дирихле в степенной ряд возле 1 выглядит как

L(C, s) =c(s— 1)^r+ слагаемые более высоких степеней,

где c — ненулевая константа, то ранг кривой равен r, и наоборот. На языке комплексного анализа это утверждение принимает вид: L (C, s) имеет в точке s = 1 нуль r-го порядка.

Главное здесь — не точное выражение, о котором идет речь; главное — то, что для любой заданной эллиптической кривой существует аналитическая формула с использованием соответствующей комплексной функции, при помощи которой можно точно узнать, сколько независимых рациональных решений необходимо найти, чтобы определить их все.

Возможно, простейший способ продемонстрировать, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера имеет смысл и значение, — это упомянуть о том, что максимальный известный ранг равен 28. Иными словами, существует эллиптическая кривая с набором из 29 рациональных решений, позволяющим получить все остальные рациональные решения. Более того, меньшего набора рациональных решений, который позволял бы это сделать, не существует. Хотя известно, что кривые такого ранга существуют, конкретных примеров до сих пор не найдено. Максимальный ранг, для которого имеется конкретный пример, равен 18. Соответствующую кривую нашел в 2006 г. Ноам Элкис, и выглядит она так:

y² +xy=x³ − 26175960092705884096311701787701203903556438969515x+ 51069381476131486489742177100373772089779103253890567848326.

Я привел нестандартный вид «y² = кубический многочлен от x», но данную запись можно привести к стандартному виду за счет дополнительного увеличения коэффициентов. Считается, что ранг может быть сколь угодно большим, но это до сих пор не доказано. Если судить по уже имеющимся данным, ранг не может быть больше некоего фиксированного числа.