Величайшие математические задачи

Впервые это «недостающее звено» привлекло внимание ученых в 1975 г., когда Ив Эллегуар обратил внимание на занятную связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Герхард Фрей в двух статьях, опубликованных в 1982 и 1986 гг., развил эту идею. Пусть p, как всегда, нечетное простое число. Предположим — в надежде прийти к противоречию, — что существуют ненулевые целые числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению Ферма, так что a^p + b^p = c^p. А теперь с надлежащей помпой извлечем из шляпы заранее припасенного кролика: рассмотрим эллиптическую кривую

y² = x (x — a^p) (x — b^p).

Эта кривая называется эллиптической кривой Фрея. Фрей применил к ней механизм работы с эллиптическими кривыми и получил цепочку еще более причудливых совпадений. Его гипотетическая эллиптическая кривая выглядит и правда очень странно. На первый взгляд, она вообще лишена смысла. Фрей доказал, что смысла в ней настолько мало, что она не может существовать. И это обеспечивает нам желанное противоречие и тем самым, разумеется, доказывает Великую теорему Ферма.

Однако в этом доказательстве есть пробел, и Фрей прекрасно знал о нем. Чтобы доказать, что такая эллиптическая кривая не существует, необходимо показать, что если бы она существовала, то была бы модулярной, т. е. одной из тех кривых, что возникают из модулярных функций. Мы только что убедились, что таких кривых множество; на тот момент никому не удавалось отыскать хотя бы одну эллиптическую кривую, которая не была бы модулярной. Казалось логичным, что и кривая Фрея должна быть модулярной, но это была гипотетическая кривая, коэффициенты a, b и c не были известны. К тому же, если бы кривая и правда была модулярной, то она просто не могла бы существовать. Был, однако, один способ раз и навсегда разобраться со всеми этими вопросами: доказать, что все эллиптические кривые модулярны. Тогда кривая Фрея, гипотетическая или нет, тоже была бы модулярной, если бы существовала. А если бы ее не было, то доказательство от этого никак бы не пострадало.

Утверждение, что всякая эллиптическая кривая является модулярной, называется гипотезой Таниямы — Симуры. Она названа в честь двух японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Симуры. Встретились они случайно: оба одновременно с одной и той же целью хотели получить в университетской библиотеке одну и ту же книгу. Результатом же стало долгое сотрудничество. В 1955 г. Танияма был в Токио на математической конференции, где молодым участникам предложили составить список открытых вопросов. Танияма предложил четыре вопроса, и все они были связаны с отношениями между модулярными функциями и эллиптическими кривыми. Еще до этого он вычислил некоторые числа, связанные с конкретной модулярной функцией, и заметил, что в точности те же числа появлялись в связи с конкретной эллиптической кривой. Подобные совпадения часто свидетельствуют о том, что все это вовсе не совпадение и что замеченным фактам должно быть какое-то разумное объяснение. Сегодня мы знаем: равенство этих чисел напрямую означает, что эллиптическая кривая является модулярной, более того, именно так чаще всего определяется модулярность в специальной литературе. Так или иначе, Танияма был достаточно заинтригован, чтобы рассчитать соответствующие числа еще для нескольких модулярных функций и выяснить, что они тоже соответствуют конкретным эллиптическим кривым.

Он заинтересовался, не найдется ли подобной черты у каждой эллиптической кривой. Специалисты в этой области в большинстве своем считали, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой, — бесплодная мечта, в пользу которой нет почти никаких свидетельств. Симура был одним из немногих, кто считал, что эта гипотеза достойна серьезного рассмотрения. Но в 1957–1958 гг. Симура уехал на год в Принстон, а Танияма, пока его не было, покончил с собой. В оставленной им записке, в частности, говорилось: «Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее».

Примерно месяц спустя его невеста Мисако Судзуки тоже покончила с собой. В ее прощальной записке было сказано: «Теперь, когда его нет, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему».

Симура продолжил работу над гипотезой. По мере того как накапливались свидетельства в ее пользу, он начал склоняться к мысли о том, что она действительно может оказаться верной. Большинство других специалистов были с ним не согласны. Саймон Сингх рассказывает об интервью с Симурой, в котором тот вспоминал, как пытался объяснить все это одному из коллег: