Величайшие математические задачи

(3 × 7) × (11 × 19), (3 × 11) × (7 × 19), (3 × 19) × (7 × 11).

Мы вынуждены брать эти числа парами, так как два числа вида 4k + 3 при перемножении дают число вида 4k + 1.

Этот пример показывает, что аргумент «множители должны быть единственными, поскольку они минимальны», в данном случае не работает. Правда, здесь есть числа и меньше (21 = 3 × 7, к примеру), но эти числа не принадлежат к интересующей нас системе. Главная же причина того, что этот пример не является полностью репрезентативным, заключается в том, что, хотя при умножении числа вида 4k + 1 дают числа того же вида, при сложении этого не происходит. К примеру, 5 + 5 = 10, но 10 — не число нужного нам вида. Поэтому, говоря языком абстрактной алгебры, мы имеем дело не с кольцом.

Второй пример не имеет этого недостатка, но он более сложен. Это кольцо алгебраических целых для многочлена x² − 15. В это кольцо входят все числа a + b√15, где a и b целые. В нем число 10 имеет два варианта разложения:

10 = 2 × 5 = (5 + √15) × (5 — √15).

Можно доказать, что все четыре множителя (2, 5, 5 + √15, 5 — √15) являются простыми{26}.

Сегодня все это выглядит гораздо понятнее, чем в 1847 г., но математикам не потребовалось много времени, чтобы показать обоснованность сомнений Лиувилля. Через две недели после доклада Ванцель проинформировал Академию, что для небольших p единственность разложения соблюдается, но для 23-й степени его метод доказательства уже не годится. Вскоре после этого Лиувилль доложил Академии, что единственность разложения на простые множители не соблюдается для круговых целых чисел, соответствующих p = 23. (Эрнст Куммер открыл этот факт тремя годами раньше, но никому не сказал, поскольку искал способ обойти это препятствие.)

Доказательство Ламе работало для небольших значений p, включая некоторые новые (11, 13, 17, 19), но в общем случае неизбежно рассыпалось. Это был наглядный урок: нельзя принимать правдоподобные математические утверждения на веру, даже если они кажутся очевидными. Может оказаться, что они вообще неверны.

Куммер тоже искал доказательство Великой теоремы Ферма, и мысль его работала примерно в том же направлении, что и у Ламе. Он вовремя заметил потенциальное препятствие и отнесся к нему серьезно: проверил и обнаружил, что оно губит этот подход к доказательству. Он нашел конкретный пример неединственного разложения на простые делители для круговых чисел на основе корней 23-й степени из единицы. Но Куммер был не из тех, кто легко сдается, и ему удалось обойти препятствие или по крайней мере смягчить худшие его следствия. Его идею можно продемонстрировать особенно наглядно на примере все тех же чисел вида 4k + 1. Чтобы сделать разложение по-прежнему единственным, достаточно добавить кое-какие новые числа, не принадлежащие к интересующей нас системе. Для этого примера нам нужны недостающие числа вида 4k + 3. А можно не мелочиться и добавить к тому же четные целые числа; тогда мы получим множество целых чисел, замкнутое относительно сложения и умножения. Иными словами, при сложении или умножении двух целых чисел результат тоже будет целым.

Куммер предложил другой вариант этой же идеи. К примеру, чтобы восстановить единственность разложения на простые множители в кольце чисел a + b√15, достаточно добавить к нему еще одно число, а именно √5. Далее выясняется, что, чтобы получить кольцо, мы должны добавить еще √3. Теперь

2 = (√5 + √3) × (√5 — √3), 5 = √5 × √5

и

5 + √15= √5 × (√5 + √3), 5 — √15 = √5 × (√5 — √3).

Таким образом, при разных вариантах группировки четырех чисел √5, √5, √5 + √3, √5 — √3 возникает два варианта факторизации.

Куммер назвал эти новые множители идеальными числами, поскольку в его общих формулировках они вообще не считались числами в полной мере. Они были символами, которые вели себя в значительной степени как числа. Он доказал, что любое круговое целое число может быть единственным образом разложено на простые идеальные числа. Довольно тонкая схема: ни круговые числа, ни идеальные числа сами по себе не имели единственного разложения на простые множители. Но если воспользоваться идеальными числами как ингредиентами разложения для круговых чисел, то результат получался единственно возможным.