Величайшие математические задачи

Если при решении математической задачи вы оказались в тупике, последуйте совету Пуанкаре: отвлекитесь и займитесь чем-нибудь другим. Если вам повезет и ветер будет попутным, у вас рано или поздно появится новая идея. Специалисты по теории чисел вряд ли осознанно следовали этому совету, но тем не менее они поступали именно так. Как и утверждал Пуанкаре, такая тактика срабатывала. Некоторые специалисты по теории чисел перенесли внимание на эллиптические кривые (см. главу 6). По иронии судьбы, со временем именно в этой области математики выявились поразительные и неожиданные связи с Великой теоремой Ферма, которые и привели, в конце концов, к доказательству Уайлса. Для описания этих связей нам потребуется еще одно понятие — модулярной функции. С этого момента наше обсуждение приобретет несколько технический характер, но за всем этим стоит вполне разумная история, да нам и нужны-то лишь самые общие положения. Следите за моими рассуждениями.

В главе 6 мы видели, что теория эллиптических функций сильно повлияла на развитие комплексного анализа. В 1830-е гг. Жозеф Лиувилль открыл, что разновидностей эллиптических функций не так уж много. Для любых двух периодов существует особая эллиптическая функция, известная как функция Вейерштрасса, и любая другая эллиптическая функция с теми же двумя периодами является просто ее вариантом. Тем самым подразумевается, что из функций с двойной периодичностью достаточно разобраться в функциях Вейерштрасса — по одной на каждую пару периодов.

Геометрически двойную периодическую структуру эллиптической функции можно интерпретировать как решетку на комплексной плоскости: это все комбинации вида mu + nv двух периодов u и v (см. рис. 30). Если мы возьмем комплексное число z и добавим к нему одну из точек нашей решетки, то значение эллиптической функции в новой точке будет тем же, что и в первоначальной. Иными словами, эллиптическая функция обладает той же симметрией, что и описанная решетка.

Аналитики открыли гораздо более богатый источник симметрий комплексной плоскости, известный как преобразования Мёбиуса. Эти преобразования превращают z в (az + b)/(cz + d), где a, b, c, d — комплексные константы. Симметрии, определяемые решеткой, представляют собой особые случаи преобразований Мёбиуса, но существуют и другие. Однако в более общем случае тоже присутствует набор точек, аналогичный рассмотренной нами решетке. Решетка определяет на евклидовой плоскости ячеистую структуру: достаточно взять в виде ячейки параллелограмм и поместить его углы в узлы решетки (см. рис. 26 и 30). При помощи преобразований Мёбиуса мы можем построить ячеистую структуру в подходящей неевклидовой геометрии, на гиперболической поверхности. Мы можем установить тождественность этой поверхности и части комплексной плоскости, где прямые заменяются дугами окружностей.

В гиперболической геометрии существуют весьма симметричные ячеистые структуры. Для каждой из них можно построить комплексные функции, которые на каждой ячейке повторяют свои значения. Такие функции известны как модулярные и представляют собой естественное обобщение эллиптических функций. Гиперболическая геометрия — очень насыщенная область математики, и диапазон ячеистых структур здесь намного шире, чем на евклидовой плоскости. Поэтому специалисты по комплексному анализу всерьез заинтересовались неевклидовой геометрией. При этом выявилась глубокая связь между математическим анализом и теорией чисел. Модулярные функции играют для эллиптических кривых ту же роль, что тригонометрические функции для окружности.

Напомню, что единичная окружность состоит из точек (x, y), таких, что x² + y² = 1. Пусть A — действительное число, и

x= cosA, y= sinA.

Тогда определение синуса и косинуса говорит о том, что данная точка лежит на единичной окружности. Более того, любая точка единичной окружности имеет такую форму. Говоря математическим языком, эти тригонометрические функции представляют окружность в параметрическом виде. Что-то очень похожее происходит и с модулярными функциями. Если мы определим x и y при помощи подходящих модулярных функций параметра A, то соответствующая точка будет лежать на эллиптической кривой — одной и той же эллиптической кривой, какое бы значение ни принимал параметр A. Существуют и более абстрактные способы сформулировать вышеизложенное, и специалисты пользуются именно ими, потому что они удобнее, но этот вариант позволяет выявить аналогию с тригонометрическими функциями и окружностью. Эта связь порождает свою эллиптическую кривую для каждой модулярной функции, а разнообразие модулярных функций громадно — ведь это все симметричные ячеистые структуры на гиперболической поверхности. Итак, огромное количество эллиптических кривых может быть соотнесено с модулярными функциями. Но какие эллиптические кривые можно получить таким способом? Именно этот вопрос оказался главным.