Величайшие математические задачи

«Профессор поинтересовался: “Я слышал, вы предполагаете, что некоторые эллиптические уравнения могут быть связаны с модулярными формами”.

“Нет, вы не понимаете, — ответил Симура. — Речь не о некоторых эллиптических уравнениях, так ведут себя все эллиптические уравнения!”»

Несмотря на общий скептицизм, Симура продолжал упорно работать, и с годами это предположение приобрело достаточную респектабельность, чтобы о нем стали говорить как о гипотезе Таниямы — Симуры. Затем Андре Вейль, один из крупнейших специалистов по теории чисел XX столетия, нашел дополнительные свидетельства в ее пользу, опубликовал их и высказал уверенность в том, что она на самом деле вполне может быть верна. После этого гипотезу стали называть гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля. Вообще, название ее окончательно не устоялось, и в публикациях о ней можно встретить самые разные комбинации имен трех этих математиков. Я буду придерживаться названия «гипотеза Таниямы — Симуры».

В 1960-е гг. еще один математический тяжеловес Роберт Ленглендс понял, что гипотезу Таниямы — Симуры можно рассматривать как один из элементов куда более обширной и амбициозной программы, способной объединить алгебраическую и аналитическую теорию чисел. Он сформулировал целый набор гипотез, связанных с этой идеей и известных сегодня как программа Ленглендса. Она была еще более спекулятивна, чем гипотеза Таниямы — Симуры, но обладала неотразимой элегантностью: подобная математика настолько красива, что просто обязана быть истинной. В течение последующего десятилетия математический мир постепенно оценил красоту программы Ленглендса, и ее исполнение начали воспринимать как одну из главных целей алгебраической теории чисел. Программа Ленглендса представляется верным направлением развития, если, конечно, кому-то удастся сделать в этом направлении первый шаг.

В 1980-е Фрей заметил, что применение гипотезы Таниямы — Симуры к его эллиптической кривой означало бы доказательство Великой теоремы Ферма. Однако к тому времени выявилась еще одна проблема с его идеей. Когда в 1984 г. он прочел лекцию на эту тему, аудитория заметила прореху в ключевом аргументе: его кривая настолько необычна, что просто не может быть модулярной. Один из ведущих специалистов в этой области Жан-Пьер Серр быстро закрыл прореху, но для этого ему пришлось задействовать еще один результат, также нуждавшийся в доказательстве, — специальную гипотезу о понижении уровня. К 1986 г., однако, Кен Рибет доказал эту гипотезу. Теперь единственным препятствием на пути к доказательству теоремы Ферма была гипотеза Таниямы — Симуры, и мнение математического сообщества начало потихоньку смещаться. Серр предсказал, что Великая теорема Ферма, вероятно, будет доказана в течение ближайших десяти лет или около того. Как именно доказана, оставалось вопросом, но в воздухе уже витала общая уверенность в успехе: методики, связанные с модулярными функциями, обретали такую мощь, что очень скоро кто-нибудь должен был реализовать наконец подход Фрея.

Этим кем-то оказался Эндрю Уайлс. В телепрограмме, целиком посвященной доказательству теоремы Ферма, он рассказал:

«Мне было 10 лет, когда я нашел книгу по математике, в которой рассказывалось немного об истории этой задачи [Великой теоремы Ферма], — что один человек написал ее 300 лет назад, но никто никогда не видел ее доказательства, никто не знал, существует ли оно, и с тех пор люди искали его. Передо мной была задача, которую я, десятилетний мальчик, был в состоянии понять, но которую никто из великих математиков прошлого не смог решить. И с того момента я, конечно, пытался решить ее сам. Это был такой вызов, такая красивая задача».