Величайшие математические задачи

Вот теперь сцена была готова к появлению Римана. Он тоже понял, что дзета-функция — это ключ к теореме о распределении простых чисел, но для реализации этого подхода ему пришлось предложить смелое расширение: определить дзета-функцию не только действительной, но и комплексной переменной. А начать можно с ряда Эйлера. Он сходится для любых действительных s больше единицы, и если использовать для комплексного s в точности ту же формулу, то ряд будет сходиться при любых s, у которых действительная часть больше 1. Однако Риман обнаружил, что можно сделать и лучше. Применив процедуру так называемого аналитического продолжения, он расширил определение ζ (s) на все комплексные числа, за исключением 1. Это значение s исключено потому, что при s = 1 значение дзета-функции становится бесконечным{30}.

В 1859 г. Риман собрал все свои мысли о дзета-функции в одну статью, заголовок которой можно перевести как «О количестве простых чисел, не превышающих заданной величины». В ней он привел полную и точную формулу π(x){31}. Я опишу более простую формулу, эквивалентную римановой, чтобы показать, как появляются нули дзета-функции. Идея заключается в том, чтобы подсчитать, сколько простых чисел, или степеней простых чисел, укладывается до любого заданного предела. Однако вместо того чтобы сосчитать каждое число по одному разу, как функция π(x) делает с простыми числами, мы придаем большим простым числам дополнительный вес. Более того, любая степень простого числа учитывается в соответствии с логарифмом этого простого числа. Так, для предела 12 мы имеем следующие степени простых чисел:

2, 3, 4 = 2², 5, 7, 8 = 2³, 9 = 3², 11,

поэтому взвешенный подсчет дает

log 2 + log 3 + log 2 + log 5 + log 7 + log 2 + log 3 + log 11,

что составляет примерно 10,23.

Воспользовавшись методами анализа, информацию об этом более хитроумном способе подсчета простых чисел можно превратить в информацию об обычном способе. Однако этот метод приводит к более простым формулам, и присутствие логарифма — не слишком дорогая цена за это. В этих терминах точная формула Римана говорит о том, что взвешенный подсчет до предела x эквивалентен

где Σ обозначает сумму по всем числам ρ, для которых ζ(ρ) равна нулю, исключая отрицательные четные целые числа. Эти значения называются нетривиальными нулями дзета-функции. Тривиальные нули — это отрицательные четные целые числа −2, −4, −6… Во всех этих точках дзета-функция равняется нулю из-за формулы, которая используется в определении аналитического продолжения, но, как выяснилось, для римановой формулы эти нули несущественны (как и почти везде в других местах).

На случай, если формула вас немного пугает, я укажу главное: хитрый способ подсчета простых чисел до заданного предела x, который при помощи кое-каких аналитических фокусов можно превратить в обычный способ, в точности эквивалентен сумме по всем нетривиальным нулям дзета-функции простого выражения xρ/ρ плюс некая несложная функция от x. Если вы специалист по комплексному анализу, вы сразу увидите, что доказательство теоремы о распределении простых чисел эквивалентно доказательству того, что взвешенный подсчет до предела x асимптотически сходится к x. Воспользовавшись комплексным анализом, получим: это утверждение верно, если у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит между 0 и 1. Чебышев не смог этого доказать, но подошел достаточно близко, чтобы извлечь полезную информацию.

Почему нули дзета-функции так важны? Одна из базовых теорем комплексного анализа утверждает, что при некоторых формальных условиях функция комплексной переменной полностью определяется значениями переменной, при которых функция равна нулю или бесконечности, плюс некоторая дополнительная информация о поведении функции в этих точках. Эти особые точки известны как нули и полюсы функции. В действительном анализе эта теорема не работает — и это одна из причин, по которым комплексный анализ завоевал такую популярность, несмотря на необходимость извлекать корень квадратный из −1. У дзета-функции один полюс (при s = 1), так что все ее характеристики определяются нулями (если, конечно, не забывать о существовании этого единственного полюса).

Для удобства Риман работал в основном с зависимой кси-функцией ξ (x), которая тесно связана с дзета-функцией и получается из метода аналитического продолжения. Он заметил: