Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Горизонтальные линии отмечают золотые пропорции, используемые Сандро Боттичелли в «Рождении Венеры» (Ф, Ф, Ф², Ф³, Ф⁴, Ф⁵).

Самым выдающимся последователем идей Леонардо был Альбрехт Дюрер. В 1525 г. он опубликовал на немецком языке первую книгу по математике «Руководство к измерению циркулем и линейкой», более известную под названием «Об измерениях». В ней художник и математик изложил свою философию красоты: «Красота заключается в гармонии частей друг с другом и с целым… Подобно тому, как каждая часть сама по себе должна быть изображена правильным образом, так же композиция частей должна создавать гармонию целого… потому что гармоничные элементы считаются красивыми».

В книге «Об измерениях» описывается построение многих кривых, таких как конхоида, архимедова спираль и спираль на основе золотого сечения, известная в то время как спираль Дюрера. В книге предлагаются некоторые точные (и приближенные) методы построения правильных многоугольников. Дюрер также рассматривает пирамиды, цилиндры и другие тела, описывает пять Платоновых тел и полуправильные архимедовы тела. Он не забыл о построениях конических сечений, таких как парабола. В целом его работа может рассматриваться как начала начертательной геометрии.

Построение конического сечения и параболы из книги «Об измерениях».

Наконец, книга содержит введение в теорию перспективы. Дюрер создал много гравюр, на которых продемонстрировал методы построения модели в перспективе.

Две гравюры Дюрера, демонстрирующие его методы построения перспективы.

АЛЬБРЕХТ ДЮРЕР (1471–1528)

Дюрер родился в 1471 г. в Нюрнберге, где он обучался живописи и гравированию. Получая образование, он путешествовал по Германии, а в 1494 г. посетил Венецию, где познакомился с математическими работами Пачоли.

На следующий год он открыл собственную мастерскую в родном городе. Кроме живописи Дюрер тщательно изучал математику. Он жил в Италии с 1505 по 1507 гг., где больше занимался математикой, чем живописью, потому что уже был непревзойденным художником. В 1512 г. он был назначен художником при дворе императора Максимилиана I. Император Карл V продлил это назначение в 1520 г. Кроме книги «Об измерениях» Дюрер также написал «Четыре книги о пропорциях».

* * *

Среди гравюр художника самой известной, возможно, является «Меланхолия I» (внизу слева). На ней особенно видно мастерство Дюрера при изображении различных объектов в перспективе, в частности, ромбоэдра в левой части гравюры. В правой части изображен магический квадрат, состоящий из чисел, сумма которых в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях всегда постоянна. Квадрат также содержит дату работы — 1514.

«Меланхолия I» и ее фрагмент, магический квадрат, показывающие тесную связь работ Дюрера и его математических знаний.

Пройдет несколько веков, прежде чем связь искусства и математики проявится с той же силой. Это произойдет в начале XX века во время расцвета абстрактного искусства. Искусствоведы Люси Адельман и Майкл Комптон так писали об этом периоде: «Прежде всего, был особый интерес к неевклидовой и многомерной геометрии… этот период означал поражение перспективы и ее замещение другими менее систематическими канонами. Художники использовали координатные сетки, как при изображении геометрических фигур, что было связано с идеей сведения живописи к отдельным элементам. Фигуры, извлеченные из математических текстов, нередко появлялись в картинах… Наконец, простые геометрические фигуры часто представлялись машинами и их продукцией и символизировали таким образом прогресс и современность».

Это был момент бурного творческого роста обеих дисциплин. В 1912 г. швейцарский художник и скульптор Макс Билл произнес революционные слова: «Новая концепция возникла, вероятно, благодаря Кандинскому, который в книге Uber das Geistige in der Kunst («О духовном в искусстве») выдвинул идею того, что в искусстве воображение художника будет постепенно заменено математическими представлениями».