Физика в примерах и задачах

Вертикальную капиллярную трубку с внутренним радиусом r опускают нижним концом в жидкость с поверхностным натяжением и плотностью . Жидкость полностью смачивает поверхность капилляра. Какое количество теплоты выделится в процессе подъёма жидкости?

Почему вообще при подъёме жидкости в капилляре должно происходить выделение теплоты? Под выделением теплоты понимают необратимое превращение механической, электрической и других видов энергии в энергию хаотического теплового движения молекул. В этой фразе, по существу, уже содержится ответ на поставленный вопрос: начальное состояние системы, когда нижний конец капилляра пришёл в соприкосновение с жидкостью, - это неравновесное состояние, из которого система самопроизвольно переходит в конечное равновесное состояние, причём этот переход совершается необратимым образом, с выделением теплоты.

Чтобы найти количество выделяющейся теплоты, рассмотрим детали этого необратимого процесса. В конечном состоянии столб жидкости покоится, поднявшись на высоту h, которую можно определить из условия механического равновесия. Действующая на столб жидкости сила тяжести P, равная по модулю r^2hg, уравновешивается действующей вертикально вверх силой F поверхностного натяжения, приложенной к столбику жидкости по верхней кольцевой границе соприкосновения жидкости с внутренней поверхностью капилляра. Длина этой границы равна 2r, поэтому F=2r. Приравнивая P и F, находим

h

=

2

gr

.

(1)

Центр масс этого столба массой m=r^2h находится на высоте h/2 над поверхностью жидкости в сосуде. Поэтому его потенциальная энергия

E

_п

=

mgh

2

=

2^2

g

.

(2)

Работа A силы поверхностного натяжения, совершаемая при подъёме жидкости на высоту h, равна

A

=

F·h

=

4^2

g

.

(3)

Видно, что эта работа силы поверхностного натяжения больше, чем потенциальная энергия столба жидкости. Очевидно, что избыток работы и равен искомому количеству выделившейся теплоты Q:

Q

=

A

-

E

_п

=

2^2

g

.

(4)

Интересно отметить, что при свободном подъёме, когда никакие другие силы, кроме сил тяжести и поверхностного натяжения, не действуют, количество выделившейся теплоты равно ровно половине работы силы поверхностного натяжения. При таком подъёме разогнанная силами поверхностного натяжения жидкость «проскакивает» по инерции положение равновесия. В отсутствие трения жидкость в капилляре совершала бы незатухающие колебания около среднего положения h, поднимаясь на максимальную высоту 2h. Реально, даже при ничтожной вязкости жидкости, эти колебания постепенно затухают, что сопровождается выделением теплоты. При достаточно большой вязкости колебания вообще не возникают: на высоте h скорость жидкости уже уменьшается до нуля.

Количество выделяющейся теплоты можно сделать меньше и даже вообще сделать равным нулю, если обеспечить условия для обратимого перехода в конечное состояние. Для этого столбик жидкости в течение всего процесса подъёма должен находиться в состоянии равновесия, т.е. кроме силы тяжести и силы поверхностного натяжения к нему нужно приложить ещё дополнительную внешнюю силу. Обратимый переход в равновесное конечное состояние возможен только тогда, когда рассматриваемая система совершает работу над внешними телами. Кстати, подумайте, какую дополнительную внешнюю силу следует приложить к столбику жидкости в каждый момент его подъёма, чтобы не происходило выделения теплоты? Какую работу совершит при этом система над внешними телами?

Даже получив ответы на эти вопросы, стоит ещё задуматься и над тем, за счёт запаса какой энергии совершается работа силами поверхностного натяжения и как объяснить тот факт, что в конечном состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия оказывается больше, чем в исходном неравновесном состоянии. Дело в том, что наряду с потенциальной энергией в поле тяжести рассматриваемая система характеризуется ещё и так называемой поверхностной энергией. Поверхностная энергия пропорциональна площади S свободной поверхности жидкости:

W

_пов

=

S

(5)

Это выражение можно получить, приравнивая работу, совершаемую внешними силами при увеличении площади поверхности горизонтальной плёнки (рис. 20.1), приращению поверхностной энергии:

F·x

=

2lx

=

W

_пов

.

При перемещении перемычки на рис. 20. 1 площадь свободной поверхности жидкости возрастает на S=2lx, так как плёнка имеет две свободные поверхности. Поскольку рассматриваемое медленное изменение поверхности, при котором в каждый момент имеется равновесие сил, является обратимым, то поверхностную энергию можно считать потенциальной.

Рис. 20.1. К вычислению поверхностной энергии жидкости

Если в системе может изменяться только поверхностная энергия, то состоянию устойчивого равновесия соответствует минимум площади свободной поверхности. Например, капли в свободном падении имеют сферическую форму, так как при заданном объёме шарообразная форма обеспечивает наименьшую поверхность.