Физика в примерах и задачах

Поле, создаваемое неподвижными зарядами, не меняется со временем и называется электростатическим. Силовой характеристикой электростатического поля является напряжённость E, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, к пробному заряду. Поле, создаваемое уединённым точечным зарядом q, является сферически симметричным; модуль его напряжённости с помощью закона Кулона (1) можно представить в виде

E

=

1

4

|q|

r^2

.

(2)

Энергетической характеристикой электростатического поля является потенциал , равный отношению работы, совершаемой силами электрического поля при перемещении пробного заряда из данной точки поля в некоторую точку, потенциал которой принят равным нулю, к пробному заряду. Физический смысл имеет только разность потенциалов между рассматриваемыми точками, а не абсолютные значения потенциалов точек. Существование потенциала как энергетической характеристики точки поля связано с тем, что работа сил поля при перемещении заряда не зависит от формы траектории, а определяется положением начальной и конечной точек. Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

При рассмотрении электростатического поля точечного заряда удобно в качестве точки с нулевым потенциалом выбрать бесконечно удалённую точку. Тогда выражение для потенциала точки, отстоящей на расстояние r от заряда, имеет вид

=

1

4

q

r

.

(3)

Электрические поля графически изображают либо с помощью линий напряжённости, либо с помощью эквипотенциальных поверхностей. Линии напряжённости перпендикулярны поверхностям постоянного потенциала, поэтому, имея одну из этих картин, мы можем построить другую.

Электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции: электрическое поле системы зарядов является суммой полей отдельных зарядов. Напряжённость поля, создаваемого несколькими зарядами, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Потенциал произвольной точки поля нескольких зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом. При этом точка нулевого потенциала выбирается общей для всех зарядов.

Существует ещё один закон, эквивалентный закону Кулона, который может с равным успехом считаться основным законом электростатического взаимодействия. Это теорема Гаусса. Эквивалентность теоремы Гаусса и закона Кулона основана на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния и на принципе суперпозиции. Теорема Гаусса применима к любому потенциальному полю, где действует закон обратных квадратов, например к гравитационному.

Теорема Гаусса формулируется следующим образом: в вакууме поток N напряжённости электрического поля E через любую воображаемую замкнутую поверхность определяется полным зарядом q, находящимся внутри этой поверхности:

N

=

q

.

Во многих задачах этого раздела рассматриваются проводники, находящиеся в электрическом поле. В статическом состоянии напряжённость электрического поля внутри проводника равна нулю, и все его точки имеют одинаковые потенциалы. Свободные заряды расположены на поверхности проводника. Вне проводника вблизи его границы линии напряжённости перпендикулярны поверхности, а напряжённость поля связана с плотностью зарядов на поверхности следующим соотношением, вытекающим из теоремы Гаусса:

E

=

.

(4)

Ёмкость уединённого проводника определяется только его формой и размерами и измеряется отношением сообщаемого проводнику заряда q к происходящему при этом изменению потенциала проводника .

Ёмкость системы двух проводников, заряженных равными по модулю разноимёнными зарядами (конденсатор), определяется отношением заряда одного проводника к разности потенциалов между ним и другим проводником и зависит только от размеров, формы и взаимного расположения проводников. Например, ёмкость плоского конденсатора с пластинами площадью S и с расстоянием d между ними в вакууме

C

=

S

d

.

(5)

Заряженный конденсатор обладает энергией. Если заряд конденсатора равен q, а разность потенциалов между пластинами U, то его энергия

W

=

pU

2

=

CU^2

2

=

p^2

2C

.

(6)

Энергию заряженного конденсатора можно рассматривать либо как энергию взаимодействия зарядов, сосредоточенных на его обкладках, либо как энергию создаваемого этими зарядами электрического поля. В рамках электростатики оба эти представления эквивалентны. При изучении переменных во времени полей (электромагнитные волны) можно установить, что в действительности энергия сосредоточена в поле.

Выражение для энергии плоского конденсатора (6), если её рассматривать как энергию заключённого между обкладками электростатического поля, имеет вид

W

=

C^2V

2

.

(7)

где V=Sd - объём, занимаемый полем. Коэффициент при V имеет смысл объёмной плотности энергии электростатического поля.

Если пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью , ёмкость конденсатора увеличивается в раз:

C

=

S

d

.

(8)

Выражение для энергии электрического поля в диэлектрике, как следует из формул (6) и (8), может быть записано в виде

W

=

E^2V

2

.

(9)

В этой формуле E - напряжённость электрического поля в диэлектрике.