Физика в примерах и задачах

Будем рассуждать следующим образом. Что произойдёт, если заряд q переместить в другую точку плоскости A (рис. 2.2)? Очевидно, что изменится только распределение индуцированных на плоскостях зарядов, сами же заряды q и q останутся прежними: индуцированные заряды просто перемещаются вместе с зарядом q. Если поместить на этой плоскости несколько точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции каждый заряд индуцирует на плоскостях такие заряды, как если бы он был один. Поэтому если нас интересует не распределение индуцированных зарядов, а только их величина, то заряд q можно равномерно «размазать» по всей плоскости A. От этого индуцированные заряды не изменятся, а задача становится совсем простой, ибо поле теперь однородно. Напряжённость поля слева от этой плоскости E=q/S (S - площадь пластин), справа от неё E=q/S, так как индуцированные на внутренних поверхностях пластин заряды q и q в этом случае распределены равномерно. Поскольку разность потенциалов между плоскостью A и каждой из пластин одна и та же, то Ed=Ed, откуда немедленно следует, что

qd

=

qd

.

(7)

Снаружи пластин поля нет, индуцированные заряды находятся только на внутренних поверхностях пластин, и на основании теоремы Гаусса можно утверждать, что

q

+

q

+

q

=

0.

(9)

Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем ответ - формулы (6).

Не всегда, разумно сводить задачу к предыдущей!

3. Заряженная полусфера.

Поверхность полусферической чаши радиуса R с тонкими стенками заряжена с постоянной плотностью. Определить потенциал в каждой точке поверхности, которая стянула бы чашу, как «кожа на барабане».

На первый взгляд задача кажется довольно сложной. Если выбрать на интересующей нас поверхности произвольную точку, то расстояние от неё до разных точек заряженной полусферы будет неодинаковым: впечатление такое, что не обойтись без помощи высшей математики. Но не будем торопиться! Оказывается, задачу можно решить очень просто, используя принцип суперпозиции электрических полей и соображения симметрии.

Рис. 3.1. Напряжённость электрического поля E равномерно заряженной полусферы в точке A перпендикулярна диаметру BC

Рассмотрим сначала равномерно заряженную по поверхности сферу. Как мы знаем, электрическое поле внутри неё отсутствует. С другой стороны, поле внутри сферы можно рассматривать как суперпозицию полей двух полусфер. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядами верхней и нижней полусфер в плоскости их соприкосновения. Выберем произвольную точку A на этой плоскости (рис. 3.1) и проведём через неё вертикальную плоскость, перпендикулярную диаметру сферы BC, на котором лежит точка A. Равная нулю напряжённость электрического поля сферы в этой точке является векторной суммой напряжённостей полей, создаваемых отдельными элементами верхней и нижней полусфер. Как легко убедиться, равна нулю векторная сумма напряжённостей E и E, создаваемых участками S и S. Участок S', нижней полусферы, симметричный участку S относительно плоскости соприкосновения полусфер, создаёт в точке A напряжённость поля E' такую, что векторная сумма E и E' перпендикулярна плоскости соприкосновения полусфер. Поскольку для каждого элемента S слева от вертикальной плоскости всегда найдётся соответствующий элемент S' справа от этой плоскости, ясно, что полная напряжённость поля, создаваемая в точке A всей нижней полусферой (т.е. полукруглой чашей), перпендикулярна плоскости соприкосновения (т.е. воображаемой поверхности, которая стягивает чашу, как «кожа на барабане»).

Точка A была выбрана совершенно произвольно, поэтому сказанное справедливо для всех точек интересующей нас поверхности. Если напряжённость поля перпендикулярна поверхности в любой её точке, то поверхность эквипотенциальная. Проще всего вычислить потенциал этой поверхности в точке, лежащей на оси симметрии чаши. Эта точка равно отстоит от поверхности чаши и по принципу суперпозиции её потенциал

=

1

4

q

R

=

1

4

2R^2

R

=

R

2

.

Ещё проще можно решить эту задачу, рассматривая не напряжённость поля, а потенциал в произвольной точке на интересующей нас поверхности. Опять рассмотрим вспомогательную задачу: найдём потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной сферой. Он одинаков во всех точках внутри сферы и равен R/.

С другой стороны, по принципу суперпозиции он равен сумме потенциалов, создаваемых двумя полусферами. Из симметрии ясно, что в любой точке интересующей нас поверхности потенциалы электрического поля, создаваемого верхней и нижней полусферами, равны. Поэтому потенциал поля, создаваемого одной заряженной полусферой во всех точках этой поверхности, одинаков и равен =/2=R/2.

Подумайте самостоятельно, как найти потенциал в любой точке плоскости «кожи», если её продолжить за пределы чаши.

4. Диполь у проводящей стенки.