Физика в примерах и задачах

При подстановке сюда значения E₊ из формулы (4) можно r заменить на r. Для величины , как видно из рис. 5.2б, можно написать lsin/r. В результате выражение (7) принимает вид

E

=

1

4

p

r^3

sin

.

(8)

Формулы (6) и (8) позволяют представить себе картину линий напряжённости электрического поля диполя. В точках, лежащих на оси диполя (где угол равен нулю или ), E=0, и, следовательно, напряжённость направлена вдоль этой оси. Из формулы (6) видно, что её направление совпадает с направлением дипольного момента p как при =0, так и при =. Действительно, при = E_r отрицательно, но следует учитывать, что радиус-вектор r, на который проецируется вектор E, направлен в сторону, противоположную вектору p. Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, для которых =/2, радиальная составляющая E_r обращается в нуль. Напряжённость поля в этих точках перпендикулярна плоскости и направлена в сторону, противоположную направлению дипольного момента p. Линии напряжённости для расстояний, больших по сравнению с размерами диполя, схематически показаны на рис. 5.3. В пространстве картина линий напряжённости симметрична относительно оси диполя.

Рис. 5.3. Картина линий напряжённости поля диполя на большом расстоянии от него

Формулы (6) и (8) для напряжённости поля можно получить и иначе, используя найденное выше выражение для потенциала (3). Для этого воспользуемся тем, что проекция напряжённости поля на любое направление E_s связана с изменением потенциала при Перемещении точки вдоль этого направления на расстояние s соотношением

E

_s

=-

s

.

(9)

Рис. 5.4. К нахождению связи модуля перемещения s с изменением угла

Для нахождения Er нужно совершить перемещение вдоль радиус-вектора, т.е. положить в (9) s равным r. Вычисляя с помощью формулы (3) предел отношения /r при r->0, получаем для E_r выражение (6). Совершенно аналогично для нахождения E нужно совершить перемещение s перпендикулярно радиус-вектору r в направлении возрастания угла . При этом, как видно из рис. 5.4, s=r, и вычисление

E

=-

1

r

с помощью формулы (3) приводит к выражению (8).

Формулы (6) и (8) важны потому, что они определяют электрическое поле на большом расстоянии не только для настоящего диполя, т.е. двух точечных разноимённых зарядов q и -q, но и для любой электрически нейтральной системы зарядов, у которой центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, если тело со сложным распределением заряда, полная величина которого равна Q, на достаточно большом расстоянии кажется просто точечным зарядом, то при Q=0 такое тело будет уже похоже на диполь. Другими словами, для нейтрального в целом тела можно подобрать диполь с таким моментом p, что создаваемое этим диполем на большом расстоянии электрическое поле будет практически эквивалентно полю тела со сложным распределением заряда.

6. Взаимодействие диполей.

Имеются два диполя с моментами p и p, находящиеся на большом расстоянии друг от друга (рис. 6.1). Диполь p закреплён так, что его ось составляет угол с прямой, соединяющей центры диполей. Диполь p может, подобно магнитной стрелке, свободно поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Под каким углом установится ось второго диполя в равновесии?

Этот пример даёт возможность проиллюстрировать применение формул для напряжённости электрического поля диполя, полученных в предыдущей задаче.

Рис. 6.1. Свободный диполь p ориентируется вдоль напряжённости поля E создаваемого закреплённым диполем p

Электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие. Легко сообразить, что для диполя, который может свободно поворачиваться вокруг оси, в равновесии дипольный момент направлен вдоль напряжённости внешнего электрического поля. В данном случае для диполя p внешним является электрическое поле, создаваемое диполем p. Поэтому для нахождения угла нужно найти направление напряжённости электрического поля E создаваемого диполем p в том месте, где находится диполь p. Как видно из рис. 6.1,

tg

=

E₁

E_1r

.

(1)

Воспользовавшись для E₁ и E_1r формулами (8) и (6) предыдущей задачи, получим

tg

=

0,5

tg

.

(2)

Отметим, что определяемое соотношением (2) значение не зависит ни от модуля дипольного момента p ни от расстояния между диполями. Графическое решение уравнения (2) показано на рис. 6.2. Для любого заданного значения находим на графике значение tg (точка A). Уменьшив в соответствии с уравнением (2) ординату вдвое (точка B), находим значение угла .

Рис. 6.2. К графическому решению уравнения tg=0,5 tg