Физика в примерах и задачах

Рис. 7.1. Силы взаимодействия диполя и точечного заряда в случае, когда точечный заряд Q расположен на оси диполя p

Рассмотрим сначала случай, когда образующие диполь заряды q и -q и точечный заряд Q расположены на одной прямой (рис. 7.1). В этом случае напряжённость поля диполя в той точке, где расположен заряд Q, будет определяться формулами (6) и (8) задачи 5, если в них положить =0. Тогда E=0, т.е. напряжённость направлена вдоль линии, соединяющей заряды, а её модуль даётся формулой (6) для E_r при =0:

E

=

1

4

2p

r^3

.

(1)

Отсюда для модуля силы F, действующей на заряд Q, а следовательно, и на диполь, получаем

F

=

|Q|E

=

1

4

2p|Q|

r^3

.

(2)

Возникновение силы F действующей на диполь, в этом случае обусловлено тем, что образующие диполь заряды q и -q находятся на разных расстояниях от точечного заряда Q (рис. 7.1), и, следовательно, действующие на них силы отличаются по модулю. Из рис. 7.1 видно, что действующие на диполь и на точечный заряд силы F и F направлены вдоль одной и той же прямой (разумеется, в противоположные стороны).

Рис. 7.2. При таком расположении диполя и точечного заряда силы их взаимодействия F и F не направлены вдоль одной прямой

Более интересен случай, когда ось диполя перпендикулярна прямой, соединяющей диполь и заряд Q (рис. 7.2). Теперь для определения напряжённости создаваемого диполем электрического поля в том месте, где находится заряд Q, необходимо в формулах (6) и (8) задачи 5 положить =/2. Тогда E_r=0 и, следовательно, напряжённость поля E перпендикулярна линии, соединяющей точечный заряд Q с центром диполя. Модуль напряжённости определяется формулой (8) для E при =/2:

E

=

1

4

p

r^3

.

(3)

Отсюда следует, что сила F, действующая на заряд Q, так же перпендикулярна линии, соединяющей диполь и заряд (рис. 7.2), а её модуль

F

=

|Q|E

=

1

4

p|Q|

r^3

.

(4)

Такая же по модулю и противоположная по направлению сила F действует на диполь p (рис. 7.2).

Возникновение силы F действующей на диполь, легко понять, если учесть, что одинаковые по модулю силы F₊ и F_-, действующие на образующие диполь заряды q и -q, направлены под некоторым углом к линии, соединяющей центр диполя с зарядом Q (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Сила F - результирующая сил F₊ и F_-, сила F - равнодействующая сил F'₊ и F'_-

Результирующая (т.е. векторная сумма) сил F₊ и F_- представляет собой силу F, действующую на весь диполь. Точно так же легко понять, почему действующая на заряд Q сила F направлена так, как показано на рис. 7.2: F - это равнодействующая сил F'₊ и F'_-, с которыми действуют на заряд Q образующие диполь заряды q и -q (рис. 7.3). Всё это не вызывает сомнений.

Однако в целом картина взаимодействия заряда Q и диполя p, показанная на рис. 7.2, на первый взгляд выглядит довольно странно: хотя силы F и F равны по модулю и противоположны по направлению, они не направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие тела. Поэтому силы F и F образуют пару сил. Результирующая пары сил F=F равна нулю, т.е. ускорение поступательного движения у рассматриваемой системы отсутствует. Однако вращающий момент пары сил отличен от нуля и находится по формуле

M

=

Fr

=

1

4

p|Q|

r^2

.

(5)

Казалось бы, под действием этого вращающего момента рассматриваемая система должна совершать ускоренное вращение по часовой стрелке. Но этого не может быть, так как силы F и F - внутренние и, следовательно, не могут изменить полного момента импульса системы. Налицо явный парадокс.

Никакого парадокса, разумеется, не возникает, если рассматривать диполь не как нечто целое, а как совокупность двух точечных зарядов q и -q (рис. 7.3). В этом случае силы взаимодействия каждой пары точечных зарядов направлены вдоль линии, соединяющей эти заряды, и вращающих моментов не создают. А как объяснить этот парадокс, если диполь рассматривать как целое, что приводит к картине взаимодействия, показанной на рис. 7.2? При таком подходе парадокс возникает потому, что в рассуждениях не был учтён момент сил, действующих на диполь p, помещённый в поле точечного заряда Q, т.е. не учитывалось различие между результирующей и равнодействующей силами.

Из рис. 7.3 вид по, что действие сил F₊ и F_- на диполь как целое сводится не только к результирующей силе F по ещё и к некоторому вращающему моменту, который стремится повернуть диполь против часовой стрелки. Другими словами, силы F₊ и F_- нельзя заменить одной равнодействующей F, в отличие от сил F'₊ и F'_-, действующих на заряд Q. При вычислении вращающего момента можно считать силы F₊ и F_- параллельными и рассматривать их как пару сил. В результате для величины действующего на диполь момента сил M получаем

M

=

F

₊

l

=

1

4

q|Q|

r^2

l

=

1

4

p|Q|

r^2

.

(6)

Таким образом, на систему в целом, состоящую из диполя и точечного заряда, действуют два противоположно направленных вращающих момента, величина которых, как видно из формул (5) и (6), одинакова. Поэтому полный вращающий момент равен нулю.

Рис. 7.4. Силы взаимодействия диполя и точечного заряда при произвольной ориентации диполя