Физика в примерах и задачах

Полная сила F взаимодействия диполя со стенкой представляет собой равнодействующую сил притяжения (2) и сил отталкивания (6):

F

=

1

4

3q^2

(2r)^2

.

(7)

Подставляя сюда =(l/2r)^2 и вводя дипольный момент p=ql, получаем

F

=

1

4

3p^2

(2r)

(8)

Обратим внимание на то, что хотя каждый из зарядов диполя взаимодействует со стенкой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до стенки, полная сила взаимодействия диполя со стенкой убывает с расстоянием гораздо быстрее - обратно пропорционально четвёртой степени. Характер зависимости исследуемой силы взаимодействия от расстояния до стенки не зависит от ориентации диполя. Чтобы убедиться в этом, можно рассмотреть случай, когда ось диполя перпендикулярна стенке. Расчёт будет ещё проще, так как все четыре силы теперь направлены по одной прямой. Сила взаимодействия в этом случае оказывается в два раза больше, чем для диполя, параллельного стенке. Подчеркнём ещё раз, что во всех случаях сила носит характер притяжения несмотря на то, что в целом диполь представляет собой электронейтральную систему.

5. Электрическое поле диполя.

Рассмотреть электрическое поле, создаваемое диполем, т.е. двумя одинаковыми по модулю разноимёнными зарядами q и -q, находящимися на расстоянии l друг от друга. Найти потенциал и напряжённость этого поля на расстоянии r, большом по сравнению с размером диполя l.

Электрическое действие заряженного тела на расстоянии, большом по сравнению с его размерами, определяется полным зарядом этого тела Q. Чем дальше от тела, тем меньше отличается создаваемое им электрическое поле от поля точечного заряда: это поле обладает сферической симметрией, его потенциал убывает с расстоянием как 1/r, а напряжённость - как 1/r^2.

Если же тело в целом электрически нейтрально, т.е. его полный заряд Q равен нулю, то это вовсе не означает, что оно совсем не создаёт электрического поля. Как мы видели в предыдущей задаче, нейтральная молекула, обладающая дипольным моментом, вызывает появление индуцированных зарядов на металлической поверхности. Значит, диполь создаёт электрическое поле. Рассчитаем это поле. Рассматривая его как суперпозицию полей точечных зарядов q и -q, выражение для потенциала в точке A, отстоящей от зарядов q и -q на расстояния r и r (рис. 5.1), можно записать в виде

=

1

4

q

1

r

-

1

r

=

1

4

q(r-r)

rr

.

(1)

Рис. 5.1. К вычислению потенциала диполя в точке A

Диполь принято характеризовать дипольным моментом p модуль которого равен произведению ql, а направление выбирается вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Для описания поля на большом расстоянии от диполя удобно вместо расстояний r и r ввести расстояние r от центра диполя и угол между вектором дипольного момента и направлением на точку наблюдения (рис. 5.1). Как видно из рис. 5.1, при l/r1 разность расстояний r-r можно записать в виде

r-r

l cos

.

(2)

В том же приближении произведение rr в знаменателе формулы (1) можно заменить на r^2. В результате формула (1) для потенциала принимает вид

=

1

4

ql cos

r^2

=

1

4

p

r^2

cos

.

(3)

В отличие от потенциала поля точечного заряда, убывающего как 1/r, потенциал электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее - как 1/r^2. Разумеется, поле диполя не обладает сферической симметрией, поэтому его потенциал зависит не только от расстояния r, по и от направления на точку наблюдения, характеризуемого углом .

Рис. 5.2. Напряжённость поля диполя E можно представить как сумму векторов E₊ и E_- (а) или как сумму векторов E_r и E (б)

При вычислении напряжённости поля в точке A можно, как и при вычислении потенциала, исходить из того, что поле диполя есть суперпозиция полей точечных зарядов q и -q. Поэтому напряжённость поля E равна векторной сумме напряжённостей E₊ и E_- создаваемых этими зарядами (рис. 5.2а). Модули этих напряжённостей даются выражениями

E

₊

=

1

4

q

r^2

,

E

_-

=

1

4

q

r^2

.

(4)

Интересующий нас результирующий вектор E удобно представить как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих, одна из которых, E_r, направлена вдоль радиус-вектора r, характеризующего положение точки A относительно центра диполя, а другая, E, перпендикулярна ей (рис. 5.2б).

На больших расстояниях от диполя, когда l/r1, векторы E₊ и E_- направлены почти в противоположные стороны (угол между ними отличается от на малую величину ) и мало отличаются по модулю (рис. 5.2б). Поэтому при нахождении E_r, как видно из рис. 5.2, нужно учитывать различие векторов E₊ и E_- по модулю, но можно пренебречь тем, что они направлены не строго в противоположные стороны. Наоборот, при вычислении E можно пренебречь различием векторов E₊ и E_- по модулю, но нужно обязательно учесть их неколлинеарность. Таким образом, для E_r можно написать

E

_r

1

4

q

r^2

-

q

r^2

=

1

4

q

(r+r)(r-r)

(rr)^2

.

(5)

Учитывая, что l/r1, можно заменить в знаменателе этого выражения rr на r^2, а в числителе сумму r+r на 2r, разность r-r на l cos. В результате получаем

E

_r

=

1

4

2p

r^3

cos

.

(6)

При вычислении E, учитывая, что угол мал, можно написать

E

E

₊

.

(7)