Физика в примерах и задачах

Двухатомная молекула, состоящая из атомов различных элементов и, следовательно, обладающая несимметричным распределением электронной плотности, например хлористый водород HCl, представляет собой электронейтральную в целом систему, у которой положения центров положительного и отрицательного зарядов не совпадают в пространстве. В первом приближении такую полярную молекулу можно рассматривать как совокупность двух точечных разноимённых, одинаковых по модулю зарядов q и -q, отстоящих друг от друга на некоторое расстояние l. Эта система зарядов называется электрическим диполем. Как такая полярная молекула взаимодействует с проводящей стенкой сосуда?

Так как размеры молекул малы, то стенки сосуда с хорошей точностью можно считать плоскими. Поэтому для нахождения силы, действующей на молекулу со стороны стенки, можно рассмотреть задачу о взаимодействии диполя с бесконечной проводящей плоскостью.

Силы взаимодействия диполя со стенкой возникают вследствие того, что заряды диполя индуцируют заряды на проводящей поверхности стенки. Взаимодействие диполя с такими индуцированными зарядами - это и есть взаимодействие с проводящей стенкой. Для нахождения действующей на диполь силы удобно воспользоваться так называемым методом электрических изображений. Сущность этого метода проще всего проиллюстрировать на примере взаимодействия одного точечного заряда с проводящей стенкой. После этого взаимодействие диполя со стенкой можно будет найти с помощью принципа суперпозиции.

Рис. 4.1. Точечный заряд вблизи проводящей стенки

Выясним, каким будет электрическое поле, если на расстоянии r от большого куска металла с плоской границей поместить точечный заряд q (рис. 4.1). Прежде всего ясно, что в толще металла электрического поля нет: E=0. Остаётся найти поле в левом полупространстве, содержащем заряд q. Так как на поверхности проводника индуцируются заряды, то полное поле слева представляет собой сумму полей заряда q и индуцированных зарядов. Как же найти поле индуцированных зарядов? Равное нулю поле в правом полупространстве тоже можно рассматривать как сумму полей заряда q и индуцированных на поверхности металла зарядов. Поэтому ясно, что поле индуцированных зарядов справа от границы эквивалентно полю одного точечного заряда -q, помещённого в ту же точку, где находится заряд q. Но поле индуцированных зарядов симметрично относительно плоской границы металла. Поэтому слева от границы оно эквивалентно полю точечного заряда -q, расположенного справа от плоскости раздела симметрично заряду q (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Слева от стенки электрическое поле индуцированных на ней зарядов эквивалентно полю заряда -q

Итак, сила, действующая на точечный заряд q со стороны индуцированных на поверхности металла зарядов, равна той силе, с которой действовал бы на него заряд -q, расположенный по другую сторону от границы металла симметрично заряду q:

F

=

1

4

q^2

(2r)^2

.

(1)

Эта сила, разумеется, направлена к стенке, так как заряд q испытывает притяжение со стороны индуцированных зарядов противоположного знака.

Рис. 4.3. Действие индуцированных на стенке зарядов эквивалентно действию диполя-изображения

Перейдём теперь к рассмотрению диполя вблизи проводящей стенки. В этом случае каждый из зарядов диполя независимо вызывает появление на стенке индуцированных зарядов, поле которых можно рассматривать так, как было описано выше. В результате действие индуцированных зарядов на диполь эквивалентно действию на него двух точечных зарядов, каждый из которых является «изображением» одного из зарядов диполя (рис. 4.3).

Рис. 4.4. Силы, действующие на заряды диполя

Пусть, например, ось молекулы ориентирована параллельно стенке сосуда. На рис. 4.4 показаны силы, действующие на заряды диполя со стороны диполя-изображения. Из этого рисунка сразу видно, что взаимодействие диполя со стенкой носит характер притяжения, так как силы отталкивания F и F, во-первых, меньше сил притяжения F и F (расстояния между одноимёнными зарядами больше, чем между разноимёнными) и, во-вторых, направлены под некоторым углом .

Найдём результирующую силу притяжения. Равнодействующая сил притяжения F и F направлена к стенке и равна по модулю

1

4

2q^2

(2r)^2

(2)

Модуль каждой из сил отталкивания F и F даётся выражением

1

4

q^2

(2r)^2+l^2

.

(3)

Поскольку эти силы направлены под углом (рис. 4.4), то их равнодействующая равна

1

4

2q^2

(2r)^2+l^2

cos

=

1

4

2q^2

(2r)^2+l^2

2r

(2r)^2+l^2

.

(4)

Будем считать, что расстояние l между зарядами, образующими диполь, мало по сравнению с расстоянием r до стенки. Тогда отношение lr1, и равнодействующую силу отталкивания удобно выразить через малый безразмерный параметр =(l/2r)^2. Вместо выражения (4) при этом имеем

1

4

2q^2

(2r)^2

1

1+

1

1+

.

(5)

В выражении (5) сначала воспользуемся приближённой формулой 1+1+ 1/2 , а затем, перемножив знаменатели двух последних дробей, - приближённой формулой

1

1

-

3

.

1

+

3

2

2

В результате для силы отталкивания вместо (5) получим

1

4

2

q^2

(2r)^2

1

-

3

2

.

(6)