Физика в примерах и задачах

1. Заряд внутри проводящей сферы.

Точечный заряд q помещён внутрь тонкостенного проводящего шара радиуса R и находится на расстоянии l от его центра. Какие заряды будут индуцированы на внутренней и наружной поверхностях шара и какова будет картина электрического поля в двух случаях: 1) шар заземлён, 2) шар изолирован и не заряжен?

Рассмотрим сначала первый случай. Металлический шар заземлён, т.е. соединён проводником с Землёй - проводящим телом огромных размеров. Потенциал Земли практически не меняется, несмотря на то, что при таком соединении какой-то заряд мог перейти с шара на Землю или наоборот. Если принять потенциал бесконечно удалённой точки равным нулю, то потенциал Земли и, следовательно, соединённого с ней металлического шара также будет равен нулю. В самом деле, вследствие огромных по сравнению с шаром размеров Земли можно считать, что она простирается до бесконечности.

Рис. 1.1. Если шар заземлён, то электрическое поле есть только внутри него

В толще стенок металлического шара, как и в любом проводнике в состоянии равновесия, электрическое поле отсутствует. Нет его и в окружающем шар пространстве (рис. 1.1). В самом деле, ничего не изменится, если мы будем считать, что всё это пространство заполнено проводником (рис. 1.2). Поэтому на наружной поверхности заземлённого металлического шара электрического заряда нет.

Рис. 1.2. Электрическое поле в полости проводника не зависит от того, что находится вокруг

Найдём заряд, индуцированный на внутренней поверхности металлического шара. Попробуем сначала упростить задачу: поместим точечный заряд q в центр сферы (это частный случай). Из симметрии совершенно ясно, что индуцированный заряд распределится по внутренней поверхности шара равномерно. По принципу суперпозиции электрическое поле вне сферы есть сумма полей, создаваемых точечным зарядом q и индуцированным зарядом q'. Так как вне шара эти поля компенсируют друг друга, то q'=-q, т.е. на внутренней поверхности шара индуцируется равный по модулю заряд противоположного знака.

Подумаем, что будет, если заряд q находится в произвольной точке внутри шара. Легко сообразить, что индуцированный заряд q' не зависит от расположения заряда q внутри шара, т.е. от расстояния l При перемещении заряда q внутри шара будет меняться лишь распределение индуцированного заряда на внутренней поверхности шара.

Поскольку поле в любой точке вне сферы отсутствует, можно утверждать, что система зарядов q и q' электронейтральна: q'=-q. (Заметим, что обратное утверждение неверно: из нейтральности системы не следует, что создаваемое ею поле равно нулю; в качестве примера такой системы можно привести диполь.)

Этот результат становится особенно очевидным, если воспользоваться картиной линий напряжённости. Как известно, линии напряжённости электростатического поля всегда начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных и число линий напряжённости однозначно связано с величиной заряда. Вне сферы поля нет, т.е. нет линий напряжённости. Другими словами, в данном случае все линии напряжённости начинаются и оканчиваются на зарядах q и q', откуда сразу следует, что полный заряд q+q'=0.

Если заряд q помещён в центре шара, то картина линий напряжённости симметрична: они представляют собой радиальные прямые, как и в случае уединённого точечного заряда. Картина линий напряжённости электрического поля внутри шара при смещённом из центра заряде q будет сложнее. Вблизи точечного заряда она, разумеется, останется почти без изменений, однако по мере удаления от заряда линии напряжённости искривляются, так что к внутренней поверхности шара они подходят под прямым углом (рис. 1.1). Поэтому густота линий напряжённости и, следовательно, поверхностная плотность индуцированных зарядов будут наибольшими в той точке внутренней поверхности шара, которая расположена ближе всего к заряду q.

Перейдём ко второму случаю, когда тонкостенный металлический шар изолирован. Теперь электрическое поле есть как внутри, так и вне шара (рис. 1.3). В толще стенок, т.е. в проводнике, поле, конечно, отсутствует.

Рис. 1.3. Если шар изолирован, то электрическое поле есть и снаружи

Начнём опять с простого частного случая: заряд q расположен в центре шара. Из симметрии ясно, что индуцированные заряды на внутренней и внешней поверхностях шара распределены равномерно. Поскольку поля в толщине стенок шара нет, индуцированный на внутренней поверхности заряд q равен -q. Заряд q, находящийся на наружной поверхности шара, поля внутри него не создаёт. Из электронейтральности проводящего шара следует, что q=-q=q. Таким образом, потенциал вне шара равен

1

4

q

r

,

т.е. создаваемое этой системой электрическое поле совпадает с полем точечного заряда, расположенного в центре шара.