Физика в примерах и задачах

При смещении заряда q из центра сферы, как и в предыдущем случае, изменяется распределение заряда q на внутренней поверхности шара, причём так, чтобы поле в толще стенок шара оставалось равным нулю. Поле в полости внутри шара при этом, конечно, меняется, но индуцированный заряд q остаётся прежним. Заряд на внешней поверхности q=q по-прежнему распределён равномерно и поля внутри сферы не создаёт. Таким образом, поле вне шара не зависит от расположения заряда q внутри него.

Отметим, что если изолированный шар был заряжен ещё до внесения в него заряда q, то этот избыточный заряд Q, как легко сообразить, останется равномерно распределённым по наружной поверхности, так что полный заряд этой поверхности будет равен q+Q. Внутри шара картина распределения поля и индуцированных зарядов останется без изменений.

2. Заряд между двумя сферами.

Точечный заряд q находится между двумя заземлёнными проводящими концентрическими сферами с радиусами a и b на расстоянии r от центра (arb) (рис. 2.1). Найти индуцированные на сферах заряды.

Рис. 2.1. Точечный заряд q между заземлёнными проводящими сферами

Если читатель разобрался в предыдущей задаче, то ему совершенно ясно, что электрическое поле есть только в пространстве между сферами, и поэтому полный заряд системы равен нулю:

q

+

q

_a

+

q

_b

=

0.

(1)

Второе уравнение для нахождения неизвестных зарядов q_a и q_b можно получить, записывая выражения для потенциала в центре сфер. Конечно, потенциал во всех точках внутри малой сферы одинаков и равен потенциалу Земли, но мы выбираем для составления уравнения именно центр сферы, поскольку все индуцированные на каждой сфере заряды находятся от этой точки на одинаковых расстояниях a и b. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал в центре сфер равен сумме потенциалов полей, создаваемых зарядом q и индуцированными на сферах зарядами. Рассмотрим, например, поле, создаваемое зарядами малой сферы. Разбивая индуцированный на ней заряд q_a на малые части q_i которые можно считать точечными зарядами, получаем для потенциала в центре сферы выражение

1

4

i

q_i

a

=

1

4a

i

q

_i

=

q_a

4a

.

(2)

Замечательно, что такое простое выражение для потенциала получается несмотря на то, что создающие электрическое поле заряды распределены на сфере неравномерно. Более того, для нахождения потенциала в центре сферы и не нужно знать, как именно распределены индуцированные заряды.

Аналогичное выражение можно получить для потенциала, создаваемого в центре сфер зарядом q_b индуцированным на внешней сфере. Теперь легко написать выражение для полного потенциала в центре сфер, создаваемого всеми зарядами. Приравнивая его нулю, получаем

1

4

q

r

+

q_a

a

+

q_b

b

=

0.

(3)

Решая систему уравнений (1) и (3), находим

q

_a

=

-q

a

r

b-r

b-a

,

q

_b

=

-q

b

r

r-a

b-a

.

(4)

Как и следовало ожидать, знаки индуцированных зарядов противоположны знаку заряда q. Если в этих формулах положить радиус внутренней сферы a равным нулю, то мы приходим к предыдущей задаче о точечном заряде внутри проводящей сферы. При этом, как видно из (4), q_a=0, q_b=-q.

Если устремить к бесконечности радиус внешней сферы b, то мы приходим к задаче о точечном заряде вблизи проводящей сферы радиуса a. Первая из формул (4) в этом случае даёт индуцированный на сфере заряд:

q

_a

=-

q

a

r

.

(5)

При неограниченном приближении заряда q к внешней поверхности сферы, т.е. при r->a, индуцированный заряд всё меньше и меньше отличается по модулю от подносимого к сфере заряда q.

Как вы думаете, какой смысл имеет в рассматриваемом предельном случае b-> заряд q_b в формуле (4)?

Рис. 2.2. Точечный заряд q между бесконечными проводящими плоскостями

Используя решение этой задачи, можно найти индуцированные заряды в том случае, когда точечный заряд q находится между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями (рис. 2.2). Для этого нужно устремить к бесконечности радиусы обеих сфер, сохраняя неизменными расстояние между ними и положение заряда q относительно поверхностей сфер: a->, b->, b-a=const=d+d. Выполняя аккуратно предельный переход, находим

d

=

-d

d

d+d

,

d

=

-d

d

d+d

.

(6)

При симметричном расположении заряда q между плоскостями q=q=-q/2.

Разумеется, можно поискать другой, независимый путь решения. В самом деле, плоскость «проще», чем сфера. Задача с плоскостями является предельным, более простым случаем задачи со сферами. Поэтому естественно придумать для неё более простое независимое решение, которое можно было бы использовать для проверки решения задачи со сферами.