Физика в примерах и задачах

При выпуклой сферической поверхности эта же формула определяет повышение давления насыщенного пара по сравнению с его давлением над плоской поверхностью. Формула (1) не содержит ускорения свободного падения g, и это не случайно. Связь давления насыщенного пара с кривизной поверхности жидкости обусловлена лишь поверхностным натяжением. Роль силы тяжести, как уже отмечалось выше, сводится только к тому, чтобы обеспечить равновесие пара одновременно с участками поверхности жидкости, имеющими разную кривизну.

Зависимостью давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости во многих случаях, когда r не слишком мало, можно пренебречь. В самом деле, из формулы (1) следует, что даже для очень маленьких капель воды, радиус которых составляет 10^-6 см, давление насыщенного пара возрастает всего лишь на 10 %. Но для маленьких капель жидкости эта зависимость может играть существенную роль. Например, представим себе пар, содержащий большое число капель жидкости различных размеров. Может оказаться, что по отношению к большим каплям пар будет перенасыщенным (т.е. его давление больше, чем в состоянии равновесия при той же температуре), в то время как по отношению к маленьким каплям пар ещё не насыщен. Тогда возникает поток пара от поверхности малых капель к большим, т.е. жидкость, испаряющаяся с маленьких капель, будет конденсироваться на больших, и, следовательно, они будут расти за счёт малых. Таким образом, состояние системы, в котором на одной высоте одновременно имеются и плоская поверхность жидкости, и отдельные капли, не является равновесным, ибо в равновесии давление насыщенных паров на одной высоте должно быть одинаково.

Обратим внимание, что при выводе формулы (1) плотность насыщенного пара _п считалась не зависящей от высоты. Однако при очень малом радиусе капилляра высота поднятия жидкости становится настолько большой, что это предположение может оказаться слишком грубым. Очевидно, что в этом случае для давления насыщенных паров нужно воспользоваться барометрической формулой, в которой учитывается зависимость плотности от высоты:

p

=

p

exp

-

mgh

kT

.

(2)

Здесь m - масса молекулы пара, k - постоянная Больцмана, T - термодинамическая температура. Из формулы (2) видно, что p представляет собой давление насыщенных паров при h=0, т.е. над плоской поверхностью жидкости.

Подставляя в формулу (2) найденное выше значение высоты подъёма жидкости в капилляре h=2/(rg), находим

p

=

p

exp

-

2m

kTr

.

(3)

Эта формула определяет давление насыщенных паров, находящихся в равновесии с вогнутой поверхностью жидкости. В случае выпуклой поверхности жидкости, над которой давление насыщенных паров больше, чем над плоской поверхностью, формула для давления отличается от (3) только знаком в показателе экспоненты:

p

=

p

exp

2m

kTr

.

(4)

Впервые эти формулы были получены В. Томсоном (Кельвином).

При не слишком малых значениях радиуса кривизны поверхности r, когда показатель экспоненты в (3) или (4) мал по сравнению с единицей, эти формулы, разумеется, приводят к тому же результату, что и формула (1). Чтобы показать это, воспользуемся тем, что для экспоненциальной функции e^x при малых x (x1) справедлива приближённая формула e^x=1+x. В результате для убыли давления p=p-p над вогнутой поверхностью с помощью формулы (3) получаем

e

=

e

^x

2m

kTr

(5)

Применяя к насыщенному пару уравнение состояния идеального газа p=nkT и учитывая, что произведение концентрации молекул пара n на массу молекулы m равно плотности пара _п, убеждаемся, что формула (5) совпадает с выражением (1).

Интересно оценить, при каких значениях радиуса кривизны капель для нахождения давления насыщенного пара следует вместо простой формулы (1) использовать более точную формулу (4). Очевидно, что такая необходимость возникает, когда показатель экспоненты в (4) приближается к единице. Отсюда для радиуса капли получаем оценку

r

2m

kT

.

(6)

Например, для воды, у которой =72 дин/см, m=3·10^-23 г, при T=300 К получаем r=10^-7 см. При таком радиусе капель формулой (1) пользоваться уже нельзя.

VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Одним из основных законов природы, установленных опытным путём, является закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе, что бы в ней ни происходило, полный электрический заряд, т.е. алгебраическая сумма положительного и отрицательного зарядов, остаётся постоянным.

Взаимодействие электрических зарядов, находящихся в покое, описывается законом Кулона. Этот закон устанавливает зависимость силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме от их величин q и q и расстояния r между ними. В Международной системе единиц (СИ) закон имеет вид

F

=

1

4

qq

r^2

,

(1)

где - электрическая постоянная.

Электрические заряды наделяют окружающее их пространство особыми физическими свойствами - создают электрическое поле. Взаимодействие электрических зарядов осуществляется посредством создаваемых ими полей