Физика в примерах и задачах

При произвольной ориентации диполя, когда его ось образует угол с направлением на точечный заряд Q, значения обеих составляющих напряжённости поля диполя E_r и E отличны от нуля, так что полный вектор напряжённости E направлен так, как показано на рис. 7.4. Вспоминая решение задачи 6, легко сообразить, что угол , под которым направлена сила F, действующая на точечный заряд Q, определяется уравнением

tg

=

0,5

tg

.

(7)

Модуль силы F легко найти, учитывая, что E и E_r направлены под прямым углом друг к другу:

F

=

|Q|E

=

|Q|

E

_r

^2+E

^2

=

1

4

p|Q|

r^3

1+3 cos^2

.

(8)

Такая же по модулю, но противоположно направленная сила F действует на диполь p (рис. 7.4). Силы F и F образуют пару, вращающий момент которой отличен от нуля. Как и в разобранном выше случае, этот момент компенсируется вращающим моментом, действующим на диполь.

Как видно из формулы (8), действующая на диполь сила отлична от нуля при любой ориентации диполя. Она максимальна при =0 и = и минимальна при =/2.

Сила взаимодействия диполя и точечного заряда обратно пропорциональна третьей степени расстояния между ними, т.е. убывает с расстоянием быстрее, чем сила взаимодействия точечных зарядов. Сила взаимодействия двух диполей, как мы видели в задаче 4, убывает ещё быстрее - обратно пропорционально четвёртой степени расстояния.

Используя результаты этой задачи, можно объяснить возникновение сил, действующих на незаряженный диэлектрик в неоднородном электрическом поле. Каждый элемент объёма диэлектрика можно рассматривать как диполь, дипольный момент которого направлен вдоль напряжённости электрического поля. В неоднородном поле на ориентированный таким образом диполь будет действовать сила, направленная в ту сторону, где напряжённость поля больше. Другими словами, диполь втягивается в область более сильного поля. Отметим во избежание недоразумений, что на рис. 7.1 изображён противоположный случай, когда диполь ориентирован не по полю, а против него и выталкивается из области сильного поля. Такая ориентация соответствует неустойчивому равновесию диполя. Дипольный момент, возникающий в изотропном диэлектрике при помещении его в электрическое поле, всегда ориентирован по полю, и поэтому диэлектрик втягивается в область сильного поля.

8. Разрезанный заряженный шар.

Заряженный металлический шар радиуса R разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии h от центра шара (рис. 8.1). С какой силой отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен Q.

Рис. 8.1. Заряженный металлический шар разрезан на две части

Будем для определённости считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара Q при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределён по его поверхности. При этом поверхностная плотность заряда одинакова во всех точках и равна

=

Q

4R^2

(1)

Из симметрии очевидно, что электростатическая сила F, действующая на каждый малый элемент S заряженной поверхности, направлена, по нормали к поверхности (рис. 8.2). Как найти эту силу? Для этого можно найти напряжённость электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности S, всей остальной частью заряженного шара.

Рис. 8.2. Электростатическая сила F в каждой точке направлена по нормали к поверхности

Напряжённость электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещённого в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряжённости

E

=

1

4

Q

R^2

=

.

(2)

Согласно принципу суперпозиции это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности шара S и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряжённость поля непосредственно у поверхности шара, то выделенный элемент S можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для напряжённости поля равномерно заряженной плоскости. Как известно, это поле существует по обе стороны от плоскости (рис.8.3), и модуль его напряжённости

E

=

2

.

(3)

Рис. 8.3. Электрическое поле заряженной плоскости

Внутри шара вплоть до самой его поверхности результирующая напряжённость поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента S поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения выделенного элемента S вся остальная часть заряженного шара создаёт электрическое поле E, направленное наружу, причём модуль напряжённости E также определяется соотношением (3). Снаружи это поле E имеет одинаковое направление с полем, создаваемым элементом S, и, складываясь с ним, даёт полное поле, напряжённость которого вдвое больше и определяется выражением (2).

Сила, действующая на элемент S, равна произведению заряда этого элемента S на напряжённость поля E=/2:

F

=

^2

2

S

.

(4)

Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление p, для которого в соответствии с формулой (4) имеем

p

=

F

S

^2

2

.

(5)