Физика в примерах и задачах

Рис. 8.4. К нахождению силы давления, действующей на отрезанную часть шара

Для нахождения равнодействующей F сил электростатического давления, действующих, например, на верхнюю часть шара, можно представить себе жёсткую полую оболочку, имеющую точно такую же форму (рис. 8.4). Если внутри такой оболочки находится газ под давлением p, то сила давления этого газа на «крышку» оболочки совпадает с интересующей нас силой F. Но совершенно очевидно, что точно такая же по модулю сила действует на «дно» этой жёсткой оболочки. Поэтому F=pS где S=(R^2-h^2) - площадь «дна». Таким образом,

F

=

pS

^2

2

R^2

1

-

h^2

R^2

.

(6)

Подставляя сюда значение поверхностной плотности заряда а из (1), получаем

F

=

1

4

Q^2

8R^2

1

-

h^2

R^2

.

(7)

Сила отталкивания частей шара будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру (h=0). Обратим внимание на то, что в ответ входит квадрат полного заряда шара Q. Это означает, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных физических соображений.

Давление p можно найти и иначе, используя закон сохранения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину r При этом электростатические силы совершат работу, равную pV, где V - увеличение объёма шара. Эта работа совершается за счёт электростатической энергии. Электростатическую энергию заряженного шара можно рассматривать как энергию создаваемого им поля. При увеличении радиуса шара электростатическая энергия убывает, так как уменьшается объём, занимаемый полем. Это уменьшение энергии равно произведению объёмной плотности электростатической энергии W=E^2/2 на увеличение объёма шара V. Приравнивая работу электростатических сил уменьшению энергии

p

V

=

E^2V

2

(8)

и подставляя сюда E=/ из формулы (2), находим p=^2/2 что совпадает с полученным ранее выражением (5).

9. Парадокс электростатической энергии.

Два одинаковых металлических шарика радиуса R находятся на большом по сравнению с их размерами расстоянии r друг от друга. Один из шариков имеет заряд q, другой не заряжен. Шарики соединяют на некоторое время проводником ничтожно малой ёмкости, в результате чего заряд q распределяется между ними поровну: q=q=q/2. Теперь оба шарика заряжены и энергия их взаимодействия

W

=

1

4

qq

r

=

1

4

q^2

4r

.

(1)

Объяснить возникающий парадокс: до соединения один из шариков не был заряжен, и, следовательно, энергия их взаимодействия была равна нулю. После соединения шариков, как видно из формулы (1), энергия их взаимодействия стала положительной, т.е. увеличилась. Откуда взялась эта энергия?

Из закона сохранения энергии следует, что электростатическая энергия шариков могла только уменьшиться. В самом деле, при соединении шариков и перетекании заряда в соединительном проводнике выделяется теплота. При соединении могла проскочить искра, что неизбежно связано с превращением электрической энергии в другие виды энергии. Возникающее противоречие с законом сохранения энергии может означать только то, что в приведённых в условии задачи рассуждениях что-то не учтено. Что же именно?

Дело в том, что энергия взаимодействия заряженных тел - это ещё не вся электростатическая энергия. Энергия взаимодействия, выражаемая формулой (1), равна работе внешних сил при сближении заряженных тел из бесконечности до расстояния r между ними. Но эта формула не учитывает энергию электростатического взаимодействия отдельных частей каждого из заряженных тел между собой, так называемую собственную энергию заряженных тел. Собственная энергия заряженного тела равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении телу электрического заряда. Как найти эту энергию?

Рассмотрим уединённое заряженное тело. Его собственная энергия не зависит от того, каким способом оно было заряжено. Поэтому рассмотрим такой процесс зарядки, для которого легче всего сосчитать работу внешних сил. Пусть заряд переносится на тело настолько малыми порциями q' что влиянием поля малого заряда на распределение уже сообщённого телу заряда можно пренебречь. Тогда работа A, совершаемая при перемещении q' из бесконечности на тело, равна произведению переносимого заряда q' на потенциал тела '. Потенциал металлического тела в любой момент связан с находящимся на нем зарядом q' соотношением '=q'/C где C - ёмкость уединённого тела. Поэтому для работы A получаем

A

=

q''

=

qq'

C

.

(2)

Суммируя работы A по переносу всех порций заряда q', пока заряд тела не станет равен q, получаем для собственной энергии выражение

W

=

q^2

2C

.

(3)

Ёмкость уединённого металлического шара радиуса R равна 4R поэтому собственная энергия такого шара, имеющего заряд q, даётся выражением

W

=

1

4

q^2

2R

.

(4)