Физика в примерах и задачах

Возвратимся теперь к рассматриваемому парадоксу. В начальном состоянии, когда энергия взаимодействия шариков равна нулю, система всё-таки обладает электростатической энергией, которая равна собственной энергии заряженного шарика. Эта энергия даётся формулой (4). В конечном состоянии, после соединения шариков, электростатическая энергия системы складывается из энергии их взаимодействия, выражаемой формулой (1), и собственных энергий каждого из шариков. Поскольку шарики находятся на большом расстоянии друг от друга, то можно считать, что заряды распределены на них равномерно. Это значит, что собственная энергия каждого из них определяется таким же выражением, как и для уединённого шара. Заряды шариков теперь равны q/2, поэтому для полной электростатической энергии системы в конечном состоянии имеем

W'

=

2

1

4

(q/2)^2

2R

+

1

4

q^2

4r

=

1

4

q^2

4

1

R

+

1

r

.

(5)

Сравнивая выражения (4) и (5), видим, что полная электростатическая энергия системы в результате соединения шариков уменьшилась:

W-W'

=

1

4

q^2

4

1

R

+

1

r

0,

так как rR. Разность W-W' равна количеству электростатической энергии, которая перешла в другие виды энергии при соединении шариков.

Итак, полная электростатическая энергия системы заряженных тел складывается из их собственных энергий и энергии их взаимодействия. Такое разбиение энергии становится особенно наглядным, если электростатическую энергию системы рассматривать как энергию электрического поля. По принципу суперпозиции электрическое поле E системы двух тел с зарядами q и q равно векторной сумме полей E и E, создаваемых каждым из тел в отдельности. Объёмная плотность энергии электрического поля, пропорциональная квадрату напряжённости, распадается на три слагаемых в соответствии с выражением

E^2

=

(E+E)^2

=

E^2

+

E^2

+

2(E·E)

.

(7)

Первые два слагаемых в правой части соответствуют объёмной плотности собственных энергий зарядов и q и q, а третье слагаемое соответствует энергии взаимодействия этих зарядов друг с другом. Именно эта часть полной электростатической энергии системы и даётся формулой (1). Если бы, решая задачу о соединении шариков, мы с самого начала рассматривали электростатическую энергию системы как энергию электрического поля, то парадокса вообще не возникло бы.

Подведём итоги. Системе заряженных тел можно поставить в соответствие либо полную энергию - энергию электрического поля, либо энергию взаимодействия тел. Какому из этих способов отдать предпочтение при решении конкретных задач?

При всех возможных перемещениях заряженных тел, если распределение зарядов на них не меняется, собственная энергия этих тел остаётся неизменной. Поэтому при таких перемещениях изменение полной электростатической энергии равно изменению энергии взаимодействия. Так как во всех физических явлениях существенно именно изменение энергии системы, то постоянная часть - собственная энергия - может быть отброшена. Именно в этом смысле следует понимать часто встречающееся утверждение об эквивалентности энергии взаимодействия зарядов и энергии создаваемого ими поля.

Представление электростатической энергии как энергии взаимодействия зарядов особенно удобно в тех случаях, когда в рассматриваемую систему входят точечные заряды. Дело в том, что собственная энергия истинно точечного заряда бесконечна. Это видно, например, из формулы (4), если в ней, сохраняя заряду неизменным, устремить радиус шара R к нулю. С другой стороны, это бесконечное значение собственной энергии точечного заряда остаётся строго неизменным при любых его перемещениях, и его можно отбросить при вычислении изменения энергии. Таким образом, то обстоятельство, что формула (1) не содержит собственной энергии зарядов, является её достоинством, а вовсе не недостатком. Формула, содержащая собственную энергию, для системы, в которой есть точечные заряды, была бы лишена смысла.

В отличие от точечных зарядов, собственная энергия проводящих тел не остаётся неизменной. Она может измениться, например, при перетекании заряда с одного проводника на другой, как это было выяснено в разобранной задаче. Собственная энергия проводника может измениться и просто при взаимном перемещении входящих в систему тел. Действительно, собственная энергия незаряженного проводника равна нулю, если поблизости нет других заряженных тел. Но при приближении к проводнику точечного заряда q на поверхности проводника возникают индуцированные заряды. Хотя полный заряд изолированного проводника равен нулю, перераспределение зарядов на его поверхности приводит к появлению электрического поля, создаваемого этими индуцированными зарядами. Это поле обладает энергией, и поэтому собственная энергия проводника уже отлична от нуля.

Разумеется, вывод о том, что собственная энергия проводников не остаётся постоянной при изменении взаимного расположения или величины зарядов окружающих тел, справедлив и для проводников, полный заряд которых отличен от нуля, так как и в этом случае происходит перераспределение зарядов по поверхности проводников.

10. Заряженные капли жидкости.