Физика в примерах и задачах

Различные соединения конденсаторов очень часто встречаются в радиотехнических схемах. Если конденсаторы соединены между собой параллельно, то напряжения на них одинаковы, а заряды конденсаторов пропорциональны их ёмкостям. При последовательном соединении конденсаторов сумма напряжений на отдельных конденсаторах равна приложенному напряжению. Напряжение на каждом конденсаторе можно найти из условия, что соединённые между собой обкладки соседних конденсаторов образуют изолированный, электронейтральный в делом, проводник. Поэтому заряды всех конденсаторов одинаковы. Например, при последовательном соединении двух конденсаторов (рис. 11.2) указанные условия приводят к равенствам

U

+

U

=

U

,

C

U

=

C

U

.

(1)

Рис. 11.2. Соединённые между собой обкладки конденсаторов в целом электронейтральны

Решая эту систему уравнений, находим

U

=

U

C

C+C

,

U

=

U

C

C+C

.

(2)

Напряжения на последовательно соединённых конденсаторах обратно пропорциональны их ёмкостям.

Однако иногда встречаются такие соединения конденсаторов, которые не сводятся к совокупности параллельных и последовательных соединений. Как раз с таким примером разветвлённой цепи мы сталкиваемся в условии этой задачи. Каким образом найти напряжения на конденсаторах в этом случае?

Попробуем составить необходимые уравнения. Прежде всего отметим, что знаки заряда каждой пластины конденсаторов C и C можно указать сразу: соединённая с полюсом источника обкладка конденсатора будет иметь заряд того же знака, что и соответствующий полюс. А вот с конденсатором C дело обстоит сложнее, ибо одна из его обкладок, как видно из рис. 11.1, соединена одновременно и с положительным полюсом одного источника, и с отрицательным полюсом другого. Поэтому сразу указать знак заряда этой обкладки невозможно. Ясно лишь, что заряд этой обкладки может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от того, какая разность потенциалов установилась бы между точками A и B в отсутствие конденсатора C. Но можно не терять время на выяснение этого вопроса, а просто предположить, что заряд этой обкладки имеет определённый знак, например положительный, т.е. знаки зарядов всех обкладок такие, как показано на рис. 11.3. Если мы не угадали знака заряда, то из правильно составленных уравнений для напряжения U получится не положительное, а отрицательное значение.

Рис. 11.3. Полный заряд обведённой пунктиром части схемы равен нулю

Теперь можно написать уравнения, связывающие напряжения на конденсаторах с ЭДС источников. Рассмотрим, например, разность потенциалов между точками D и F на рис. 11.3. С одной стороны, эта разность потенциалов равна сумме ЭДС E+E с другой - сумме напряжений на конденсаторах C и C. Поэтому

U

+

U

=

E

+

E

.

(3)

Точно так же напряжение между точками A и F, с одной стороны, равно ЭДС E, с другой - сумме напряжений на конденсаторах C и C:

U

+

U

=

E

(4)

Двух написанных уравнений (3) и (4) недостаточно для определения трёх неизвестных напряжений U, U и U. Поэтому нужно написать ещё одно уравнение. Если мы попытаемся, рассуждая так же, как и раньше, рассмотреть разность потенциалов между точками D и A, то придём к уравнению

U

-

U

=

E

(5)

Однако легко видеть, что это уравнение не поможет в определении неизвестных, так как оно является следствием двух написанных ранее уравнений: вычитая почленно уравнение (4) из (3), получаем уравнение (5).

Третье независимое уравнение можно получить так же, как и в случае последовательного соединения конденсаторов, учитывая условие электронейтральности соединённых между собой обкладок конденсаторов, не имеющих контакта с полюсами источников. Эта электронейтральная система обкладок обведена штриховой линией на рис. 11.3. В отличие от случая последовательного соединения конденсаторов, это условие приводит не к равенству их зарядов, а к требованию равенства нулю алгебраической суммы зарядов указанных обкладок:

C

U

-

C

U

-

C

U

=

0.

(6)

Уравнение (6) вместе с любыми двумя из уравнений (3), (4) и (5) образует систему для нахождения неизвестных U, U и U. Выразим, например, U из уравнения (6):

U

=

CU-CU

U

,

(7)

и подставим в (4):

U

=

1

+

C

C

-

U

C

C

=

E

.

(8)

Теперь можно уравнение (3) умножить почленно на отношение C/C и сложить с уравнением (8). В результате находим

U

=

(E+E)C+EC

C+C+C

.

(9)

Выражение для U можно теперь написать сразу, пользуясь симметрией схемы и меняя в выражении (9) индексы 1 и 2 местами:

U

=

(E+E)C+EC

C+C+C

.

(10)

Те, кто сомневаются в законности такой операции, могут подставить из (9) найденное значение U в уравнение (8) и вычислить U. Для определения U значения U и U из (9) и (10) нужно подставить в выражение (7):

U

=

CE-CE

C+C+C

.

(11)