Физика в примерах и задачах

Как было выяснено в задаче 21 раздела «Молекулярная физика», равновесие капель жидкости со своим насыщенным паром является неустойчивым: большие капли растут за счёт испарения маленьких. В результате вся жидкость в закрытом сосуде в отсутствие поля тяжести должна собраться в одну каплю, так что давление насыщенного пара будет соответствовать кривизне её поверхности. (Разумеется, при наличии поля тяжести жидкость соберётся на дне сосуда и её поверхность будет плоской.) Однако маленькие заряженные капли диэлектрической жидкости ведут себя иначе: в закрытом сосуде, содержащем жидкость и её насыщенный пар, эти капли растут, пока не достигнут определённого размера. Как объяснить это явление?

В задаче 21 раздела «Молекулярная физика» было показано, что давление насыщенных паров p связано с радиусом кривизны r выпуклой поверхности жидкости соотношением

p

=

p

exp

2m

kTr

,

(1)

где p - давление насыщенного пара в случае плоской поверхности жидкости. Это значит, что благодаря поверхностному натяжению в жидкости пар, находящийся в равновесии с каплей радиуса r, будет пересыщенным для жидкости, имеющей плоскую поверхность. В результате, как мы видели, на плоской поверхности жидкости происходит конденсация и пар становится ненасыщенным для капель, что приводит к их испарению. Чем больше коэффициент поверхностного натяжения и чем меньше радиус капель, тем быстрее идёт такой процесс.

Рис. 10.1. К расчёту уменьшения электростатической энергии при увеличении радиуса заряженной капли

Рассмотрим теперь, что будет происходить в том случае, когда капля имеет электрический заряд. Например, капля образовалась на ионе, так что можно считать, что в её центре находится точечный заряд q. С создаваемым этим ионом электрическим полем связано дополнительное электростатическое давление p'. Для нахождения этого давления будем рассуждать следующим образом. Пусть капля немного увеличилась в размерах, так что изменение её объёма равно V (рис. 10.1). При этом электростатические силы совершают работу, равную p'V. Эта работа совершается за счёт энергии электростатического поля капли, которая уменьшается при увеличении радиуса капли. До расширения капли энергия электрического поля в слое объёмом V на рис. 10.1 была равна

E^2

2

V

.

После расширения капли, когда этот слой заполнился диэлектриком с проницаемостью , напряжённость поля в нем уменьшилась в раз, а энергия ноля, в соответствии с формулой (9) из введения к этому разделу, также уменьшилась в раз и стала равной

E^2

2

V

.

Приравнивая работу сил электрического поля убыли его энергии, получим

p'

=

E^2

2

1

-

1

.

(2)

В этой формуле E представляет собой напряжённость электрического поля, которое существовало в слое V до расширения капли. Наличие капли, т.е. шарообразного однородного диэлектрика, окружающего точечный заряд, не нарушает сферической симметрии электрического поля. Поэтому, применяя теорему Гаусса, убеждаемся, что поле снаружи капли совпадает с полем точечного заряда:

E

=

1

4

q

r^2

.

(3)

Подставляя это значение E в формулу (2), получаем следующее выражение для дополнительного электростатического давления:

p'

=

2(4)^2

q^2

r

1

-

1

.

(4)

Это давление как бы «распирает» каплю изнутри, и поэтому его действие можно рассматривать как уменьшение стягивающего каплю поверхностного натяжения. Давление жидкости внутри капли, обусловленное поверхностным натяжением, даётся выражением

p

=

2

r

.

(5)

При наличии заряда q давление внутри капли уменьшается на величину p' и становится равным p-p' Поэтому удобно ввести эффективное значение поверхностного натяжения _эф так, чтобы давление внутри заряженной капли p-p' по-прежнему выражалось формулой (5):

p-p'

=

2_эф

r

.

(6)

Подставляя сюда значения p' и p из формул (4) и (5), получаем

_эф

=

-

q^2

2(4)^2

1

-

1

1

r^3

-

r^3

,

(7)

где множитель при 1/r^3 во втором слагаемом для удобства обозначен через .

Для того чтобы учесть влияние изменения поверхностного натяжения на давление насыщенных паров вблизи заряженной капли, следует в формуле (1) заменить а на _эф. Тогда с помощью формулы (7) находим

p

=

p

exp

2m

kT

r

-

r

.

(8)

Для исследования зависимости давления насыщенных паров от радиуса заряженной капли удобно предварительно прологарифмировать выражение (8):

ln

p

p

2m

kT

r

-

r

.

(9)