Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Только что сказанного мною достаточно[689], чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободную инициативу математика каким-либо механическим процессом. Для получения реально ценного результата недостаточно громоздить вычисления или иметь машину для упорядочивания; ценность заключена не в порядке вообще, а в неожиданном порядке. Машина может хвататься за голый факт, однако душа этого факта всегда будет ускользать от нее.

Мы используем формальное доказательство в качестве опоры, чтобы расширить возможности нашей интуиции, однако это было бы лестницей в никуда, если бы мы не использовали его, чтобы добраться до места, которое мы каким-то необъяснимым образом могли увидеть.

Мы, математики, представляемся миру людьми, чьи знания вечны и неоспоримы, поскольку мы все это доказали. Доказательство – важный инструмент для нас, мерило нашей уверенности, так же как это было для Линкольна. Однако суть не в этом. Суть в понимании вещей. Нам нужны не просто факты, а души фактов. Именно в момент понимания, когда стены стали прозрачными, а потолок улетает, мы и творим геометрию.

Несколько лет назад российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Это была не единственная гипотеза Пуанкаре, но именно она связывается с его именем, поскольку оказалась трудной, а попытки справиться с ней, как правило, приводили к появлению новых интересных идей; вот так действительно хорошая гипотеза оправдывает себя.

Я не собираюсь точно формулировать гипотезу Пуанкаре. Она касается трехмерных пространств, но не обязательно нашего; скорее Пуанкаре спрашивает о несколько более геометрически богатых трехмерных пространствах – пространствах, которые можно искривлять и сгибать[690]. Представьте, что Квадрат, вынутый из Флатландии его трехмерным гостем, обнаружил бы, что плоскость, на которой он жил, – на самом деле поверхность сферы[691] или вообще какого-нибудь сложного пончика, а затем сказал бы своему новому другу: а что, если ваш трехмерный мир на самом деле имеет какую-то сложную форму, видимую только из четвертого измерения? Как вы могли бы об этом судить?

Вот один из способов узнать, живете вы на пончике или на сфере. На поверхности пончика можно сделать замкнутую петлю из эластичной веревки так, чтобы ее нельзя было стянуть в точку, сколько бы вы ни пытались. Сфера – другое дело: любая веревочная петля на поверхности стягивается в точку.

Трудновато представить себе это в нашем трехмерном пространстве, но почему бы не попробовать? Веревочную петлю, которую вы держите в руке, наверняка можно стянуть в точку, не покидая Вселенной.

Но как насчет космического корабля, который удаляется от Земли на много гигапарсеков, а потом возвращается домой? Если представите его путь в космосе как длинную-длинную петлю, очевидно ли, что можно стянуть ее в точку? Геометрия Вселенной в таких масштабах так же недоступна нашим прямым наблюдениям, как и мелкомасштабные странности внутри электрона.

Пуанкаре понял, что понятие о таких стягиваемых и нестягиваемых петлях играет фундаментальную роль. Его гипотеза заключалась в том, что есть только один вид трехмерного пространства без нестягиваемых петель – то, с которым мы знакомы. Убедитесь, что все петли можно стянуть, и вы знаете все, что нужно знать о форме пространства.

Честно говоря, Пуанкаре не строил в точности таких предположений. Он просто спросил в статье 1904 года (года выставки), так ли это, не останавливаясь ни на одном из двух вариантов. Возможно, от конкретики его удержал консервативный характер, а может быть, тот факт, что четырьмя годами ранее он высказал другую подобную гипотезу, которая, как он сам признал в работе 1904 года, оказалась полностью неверна. Такое встречается чаще, чем вы думаете. Даже великие математики высказывают множество ложных предположений. Если вы никогда их не делаете, значит, не высказываетесь о достаточно сложных вещах.

Перельман ответил на вопрос Пуанкаре, используя такие методы, которые французский математик едва ли мог вообразить. Его доказательство поднимается на уровень выше, используя геометрию всех геометрий, позволяя загадочному трехмерному пространству без петель течь через пространство всех пространств, пока оно не станет стандартным трехмерным пространством, которое мы знаем и любим.

Это не простое доказательство.