Фрактальная геометрия природы

Функция Кантора описывает распределение массы вдоль канторова гребня, показанной на рис. 120. Многие называют график этой функции чертовой лестницей — она и впрямь ведет себя весьма странно, чтобы не сказать больше. Условимся, что и длина, и масса гребня равны 1; кроме того, каждой точке абсциссы R поставим в соответствие массу M(R), содержащуюся между 0 и R. Поскольку в паузах никакой массы нет, функция M(R) на этих интервалах остается постоянной. Учитывая, что створаживание никоим образом не влияет на общую массу гребня, можно заключить, что функция M(R) должна возрастать хоть где-нибудь между точкой с координатами (0, 0) и точкой с координатами (1, 1). Она и возрастает, только происходит это на бесконечно большом числе бесконечно малых и группирующихся в очень тесные скопления участков, соответствующих полученным нами пластинам гребня. Подробнее о странных свойствах функции Кантора можно прочесть в работе [216].

Регуляризующие отображения. Чертова лестница может похвастаться одним выдающимся свойством: с ее помощью можно отобразить вопиющую неоднородность канторова гребня в нечто пристойно однородное и равномерное. Взяв два различных интервала одинаковой длины на вертикальной оси графика обратной канторовой лестницы, мы обнаружим, что масса двух соответствующих наборов пластин одинакова — хотя на вид они, как правило, сильно отличаются.

Поскольку самым буйным цветом наука цветет именно на почве однородности, такие регуляризующие преобразования часто способны преодолеть преграду между фрактальной иррегулярностью и математическим анализом.

Фрактальная однородность. Распределение масс в канторовом гребне удобно полагать фрактально однородным.

Канторово движение. Как и в случае рассматриваемой в виде движения кривой Коха или движения Пеано, иногда удобно интерпретировать ординату M(R) как время. Тогда обратная функция R(M) будет определять положение точки при канторовом движении в момент времени t. Движение это в высшей степени дискретно. В главах 31 и 31 мы рассмотрим его линейные и пространственные обобщения.

Фрактальная размерность. Сумма ширины всех ступеней чертовой лестницы равна сумме высот всех этих ступеней — каждая из сумм равна 1. Следовательно, чертова лестница имеет совершенно определенную длину, равную 2. Кривая конечной длины называется спрямляемой, а ее размерность D равна 1. Из этого примера хорошо видно, что размерность D=1 вполне совместима с наличием бесконечного множества особых точек — при условии, что они достаточно редко разбросаны.

< Кое-кому, возможно, захочется назвать представляемую вашему вниманию кривую фрактальной, однако для этого нам придется пойти на менее строгое определение фракталов, которое бы наряду с размерностью D основывалось еще на каких-то других понятиях. ►

Сингулярные функции. Канторова лестница представляет собой неубывающую и непостоянную сингулярную функцию — сингулярную в том смысле, что она непрерывна, но не дифференцируема. Ее производная обращается в нуль почти везде, к тому же она ухитряется непрерывно изменяться на множестве, длина — т. е. линейная мера — которого стремится к нулю.

Любая неубывающая функция может быть представлена в виде суммы некоторой сингулярной функции, некоторой функции, состоящей из дискретных скачков, и некоторой дифференцируемой функции. Два последних слагаемых являются классикой в математике и широко используются в физике. Сингулярную же составляющую большинство физиков считает абсолютно бесполезной патологией. Последнее мнение является абсолютно безосновательной чепухой — это заявление можно считать лейтмотивом настоящего эссе.

Чертовы лестницы в статистической физике. Публикация этого рисунка в эссе 1977 г. привлекла к чертовым лестницам внимание физиков и послужила стимулом для многочисленных исследований. Все чаще мне встречаются в книгах и статьях графики, напоминающие «занавес» на рис. 121 или занавес Фату на рис. 273. В этой связи рекомендую заглянуть в [9], где разрозненные — хотя и весьма важные — ранние исследования (например, [11], [218]) объединены с новыми разработками в данной области.

III ГАЛАКТИКИ И ВИХРИ

9 ФРАКТАЛЬНЫЙ ВЗГЛЯД НА СКОПЛЕНИЯ ГАЛАКТИК

В главах 6 и 7, призвав на помощь геоморфологию, мы ввели кривые Коха и Пеано, однако объекты наиболее значительных приложений теории фракталов находятся в несколько иных областях. Неспешно подбираясь к основным течениям в науке, мы рассмотрим в этой главе (и в двух последующих) два вопроса исключительной древности, важности и сложности.