Имя: Избранные работы, переводы, беседы, исследования, архивные материалы

Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» – в этой области, – объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества ¹⁹, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» либо «соприкосновением», сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть – бесконечностью) и Творцом (пусть – Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Г. Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал ²⁰, а П.А. Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, – он обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» ²¹. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, например, что всякое множество «обладает большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.

Однако Г. Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась пред публикой во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее, умозаключение, но законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы почти на протяжении века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.

Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) множества появились у Г. Кантора на пути дальнейшего совершенствования механизма сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Г. Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое – на понятия мощности и порядкового типа ²². Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Скажем, если не принимается во внимание только качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов, то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т.е. между их элементами устанавливается взаимно однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или, – пример из первых математических подвигов Г. Кантора, – эквивалентны множества натурального ряда чисел и множества положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т.е. при установлении однозначного соответствия сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множества всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии ²³.