Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Кроме того, американская система не такая кастовая, как это принято в Европе и Азии. Ее структура не такая жесткая, в ней гораздо больше мобильности. Совершенно естественно, если профессора, ассистенты и помощники дружат. Американские профессора шутят с секретаршами и обедают с аспирантами. В зарубежных университетах такое поведение встречается реже. По-видимому, свободная и открытая природа нашей системы способствует ее успеху.

Надо сказать, что один из ключей успеха американской академической системы — не что иное, как деньги. Высшее образование затратно, а у американских университетов доступ к ресурсам больше, чем у европейских. Существует много правительственных и частных фондов, и в американских университетах давно утвердилась традиция пожертвований от выпускников (в отличие, скажем, от английских). Активы Гарвардского университета превышают 26 млрд долларов, и большая часть этой суммы идет от таких пожертвований. Нет ничего необычного в том, что какой-либо богатый жертвователь обращается в американский университет с предложением внести 10 млн долларов на обеспечение пяти академических позиций[58]. Это особая академическая позиция, с внушительной зарплатой и многими привилегиями, предназначенная для привлечения и удержания лучших ученых. В Европе не бывает ничего подобного.

Многие блестящие ученые покидают Европу, чтобы работать в американских университетах, где зарплаты гораздо выше (и к тому же условия труда позволяют добиться большей продуктивности). В то же время они часто возвращаются на родину после завершения карьеры.

5.3 Л. Э. Я. Брауэр и доказательство от противного

Датский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881–1966) с молодых лет интересовался преимущественно топологией. В те дни (начало XX в.) топология только-только появилась на свет, и у нее было красивое имя: резиновая геометрия. Она имеет дело с геометрическими свойствами поверхностей и тел, которые сохраняются при непрерывных деформациях (например, изгибание, растяжение, скручивание). Брауэр создал себе репутацию, сделав значительный вклад в изучение теоремы о жордановой кривой (очевидное, но удивительно тонкое утверждение о том, что замкнутая кривая без самопересечений на плоскости разбивает плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю по отношению к кривой). Продолжая работу в быстро развивающейся новой области, Брауэр получил смелый новый результат и смог его доказать.

Суть этой теоремы Брауэра о неподвижной точке может быть понятна и неспециалисту. Рассмотрим на плоскости замкнутый диск единичного радиуса , он изображен на рис. 5.1. Он представляет собой окружность и ее внутреннюю область. Теперь представим себе, что задана функция , непрерывно отображающая диск на себя, как показано на рис. 5.2. Теорема Брауэра заключается в том, что у отображения φ должна существовать неподвижная точка. Другими словами, должна существовать точка такая, что φ(P)=P (рис. 5.3).

Рис. 5.1. Замкнутый диск

Рис. 5.2. Непрерывное отображение диска на себя

Рис. 5.3. Неподвижная точка

Это математический результат, его строгое доказательство опирается на такие глубокие понятия, как гомотопия. Но он допускает естественные эвристические объяснения, понятные и дилетанту. Вот одна из популярных интерпретаций. Представьте, что вы обедаете и перед вами тарелка с супом (рис. 5.4). Поверхность супа вы равномерно посыпаете тертым сыром (рис. 5.5), а затем размешиваете. Вообразите, что вы размешиваете суп так, как принято в светском обществе, и весь сыр остается на поверхности (рис. 5.6). Тогда некоторая частица сыра остается на месте (рис. 5.7).

 

Рис. 5.4. Тарелка суп 

 

Рис. 5.5. Тертый сыр на поверхности супа 

 

Рис. 5.6. Замкнутый диск

 

Рис. 5.7. Неподвижная частица сыра

Кулинарная аналогия позволяет нам лучше понять теорему Брауэра о неподвижной точке. И формулировка, и доказательство этой теоремы в 1909 г. были волнующими. Сейчас известно, что теорема верна для диска любой размерности (сам Брауэр доказал ее только для размерности 2). Мы обсудим этот результат ниже.