Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Утверждение 5.3.4. Не существует ретракции на С.

Доказательство этого утверждения опирается на сложные идеи из теории гомотопий — части алгебраической топологии, развитой Пуанкаре более 100 лет тому назад. Мы не можем рассмотреть ее здесь подробно.

Знаменитая теорема Брауэра формулируется так:

Теорема 5.3.5. Пусть — замкнутый единичный диск, а — непрерывная функция. Тогда существует точка такая, что f(P)=P.

Рис. 5.14. Построение ретракции

Доказательство. Рискуя огорчить самого Брауэра, мы дадим доказательство от противного. Предположим, что существует отображение f, у которого нет неподвижной точки. При этом для любой точки . Тогда мы сможем использовать отображение f, чтобы построить ретракцию на C следующим образом. Рассмотрим рис. 5.14. Отрезок, который начинается в f(x), проходит через точку x, а заканчивается в некоторой точке r(x) на C, дает нам отображение r:

Здесь — стандартное математическое обозначение для границы множества. Отметим, что область определения этого отображения — те точки x, которые мы отображаем, совпадает с , это множество точек диска вместе с его границей. А образ — область значений отображения — это окружность C, т. е. граница диска. Разумеется, это отображение непрерывно, так как малое изменение x дает малое изменение f(x), а значит, и r(x). Более того, отображение r переводит каждую точку границы C в себя. Таким образом, r — ретракция на C. Обратите внимание: мы смогли построить эту ретракцию на основании того, что ; именно в силу этого неравенства мы знаем, как провести отрезок, определяющий точку r(x). Но ведь нам известно из предположения, что ретракция невозможна. Поэтому не может случиться так, что для всех x. Таким образом, некоторая точка P остается неподвижной относительно отображения f. На этом доказательство заканчивается. Мы установили истинность теоремы Брауэра о неподвижной точке, опираясь на теорию гомотопии Пуанкаре. □

5.4 Обобщенная теорема о бутерброде

5.4.1 Классический бутерброд с ветчиной

В этом разделе мы собираемся обсудить далеко идущее обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке. При этом мы будем опираться в основном на интуицию, как и должно быть. Наша цель — показать, что математические идеи не стагнируют. Любое настоящее озарение дает толчок дальнейшим исследованиям и открытиям. К ним относится «обобщенная теорема о бутерброде».

Следует сказать: в этом разделе мы опишем обобщение философии и методологии теоремы Брауэра о неподвижной точке, а не обобщение самой теоремы. Это иллюстрация важной части собственного течения математики. Математика в действительности — это процесс, а процесс не всегда аккуратно разделяется на теоремы и доказательства. Можно многому научиться с точки зрения, принятой в теореме, а затем предпринять свое путешествие и доказать свою собственную теорему.

Рис. 5.15. Классический бутерброд с ветчиной

Начнем с определения классического бутерброда с ветчиной. Бутерброд состоит из двух квадратных ломтиков хлеба, одного квадратного кусочка ветчины (мы считаем, что нам досталась стандартно упакованная ветчина) и одного квадратного кусочка сыра (сыр тоже в стандартных упаковках). Вы видите схему бутерброда на рис. 5.15.

Легко видеть, что одним взмахом ножа можно разрезать бутерброд так, что

• весь хлеб (каждый ломтик) делится пополам;

• сыр делится пополам;

• ветчина тоже делится пополам.

На рис. 5.16 изображен один из таких разрезов, на рис. 5.17 — еще один. На самом деле существует бесконечно много способов провести плоское сечение бутерброда так, что на две равные половинки будут разрезаны оба ломтика хлеба, сыр и ветчина. В следующем разделе мы определим «обобщенный бутерброд с ветчиной» и обсудим аналогичный, но куда более поразительный результат.

Рис. 5.16. Один разрез классического бутерброда

 

Рис. 5.17. Другой разрез классического бутерброда

5.4.2 Обобщенный бутерброд с ветчиной

Обобщенный бутерброд с ветчиной тоже состоит из ветчины, хлеба и сыра. Однако теперь ветчины может быть несколько кусочков произвольной формы. То же самое относится к хлебу и сыру. Такой обобщенный бутерброд изображен на рис. 5.18.

Не забудем, что этот бутерброд существует в трехмерном пространстве. Обобщенный бутерброд на рис. 5.20 — трехмерный. Каждый кусочек ветчины, сыра или хлеба — объемный трехмерный объект.

Вот мы и добрались до такой удивительной теоремы:

Теорема 5.4.1. Пусть S — обобщенный бутерброд с ветчиной в трехмерном пространстве. Тогда можно осуществить такой плоский разрез ножом, что:

• хлеб делится пополам;

• сыр делится пополам;

• ветчина тоже делится пополам.

 Рис. 5.18. Обобщенный бутерброд с ветчиной

 Рис. 5.19. Обобщенная теорема о бутерброде