Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Эту теорему иллюстрирует рис. 5.19. Доказательство, которое слишком сложно, чтобы его здесь привести, обобщает свойство среднего значения, использованное при доказательстве теоремы о неподвижной точке в одномерном пространстве.

В эту тему стоит углубиться еще немного. Рассмотрим обобщенную теорему о бутерброде в двумерном пространстве. Здесь мы не можем позволить бутерброду состоять из трех ингредиентов. В пространстве размерности 2 бутерброд можно делать только из хлеба и ветчины. Никакого сыра. Вот тогда результат остается в силе: один линейный разрез разделит пополам и хлеб, и ветчину. Изучите рис. 5.20 и убедитесь, что если хлеб, сыр и ветчина расположены так, как на этом рисунке, то разделить их все надвое поровну не получится никаким разрезом. Зато любые два ингредиента из трех можно разделить пополам одним разрезом.

Рис. 5.20. Ограничения на обобщенную теорему о бутерброде в двумерном пространстве

В пространстве размерности 4 в бутерброд можно добавить еще что-нибудь вкусненькое, скажем, индейку. Все равно найдется такая гиперплоскость, которая разделит на две равные части и хлеб, и сыр, и ветчину, и индейку. Это довольно абстрактная тема, и мы не будем подробно обсуждать ее здесь (интересный рассказ можно найти в [GAR]).

5.5 Суета вокруг доказательств от противного

Как мы видели, свою знаменитую теорему о неподвижной точке Л. Э. Я. Брауэр доказывал от противного. Однако позднее он отверг этот метод, провозгласив, что в математике все теоремы существования должны доказываться конструктивно. Между прочим, уже существуют конструктивные методы для доказательства различных вариаций теоремы Брауэра о неподвижной точке (см. [BIS1]). Один такой метод (им мы обязаны Исааку Ньютону[61]) мы рассмотрим ниже.

Вначале Брауэр был одиноким воином в поле, исповедующим свою конструктивистскую доктрину без соратников. Но со временем у него появились последователи. Теоретики-специалисты по компьютерным вычислениям заинтересованы в конструктивизме, ведь компьютер — просто устройство для выполнения математических операций в конструктивной манере. В теории вычислений доказательствам от противного отводится определенное место, но все же компьютер — орудие конструктивистов.

Во всем мире вызвал удивление поступок математика Эррета Бишопа (1928–1983), который в 1968 г. высказался в поддержку конструктивизма. Ведь он создал себе авторитет в математике, построив несколько головокружительных доказательств, используя метод доказательства от противного. Но потом он отказался от этого метода. Позднее мы еще вернемся к Бишопу.

Давайте лучше изучим одномерный вариант теоремы Брауэра о неподвижной точке, чтобы понять, нельзя ли подойти к этой теореме в конструктивистской манере. В этом месте полезно перечитать разд. 5.3, чтобы вспомнить основные идеи доказательства. Главный шаг состоял в том, что мы рассматривали функцию g(x)=f(x)-x и пытались установить, в какой точке она обращается в нуль. Мы знали, что g(0)>0 и g(1)<0, так что можно было воспользоваться тем, что непрерывные функции принимают промежуточные значения, и сделать вывод, что существует точка ξ между 0 и 1 такая, что g(ξ)=0. Отсюда следует, что f(ξ)-ξ=0 или f(ξ)=ξ.

Без сучка и задоринки. Это разумное и убедительное доказательство. Но не конструктивное. Существование ξ — не более чем существование, оно следует из абстрактного доказательства. Вообще говоря, мы ничего не можем сказать, чему равно значение ξ или хотя бы как его найти. Если g — гладкая функция (график ее не имеет изломов), то существует разработанный Исааком Ньютоном конструктивный метод отыскания ξ[62]. Сейчас мы его вкратце обсудим.

Представьте себе гладкую функцию g, которая принимает положительное значение в 0, и отрицательное — в 1 (см. рис. 5.21). На первом шаге метода Ньютона мы выбираем первое приближение ξ₁ для значения ξ, причем делаем это наугад (см. рис. 5.22). Идея в том, чтобы провести касательную к графику в точке, которая соответствует ξ₁ (см. рис. 5.23), и выяснить, где касательная пересекает ось абсцисс. Эта точка будет вторым приближением ξ₂ искомого значения ξ. На рис. 5.24 хорошо видно, что второе приближение гораздо удовлетворительнее первого, взятого наугад. Вычисления показывают, что обычно с каждым шагом метода Ньютона число верных десятичных цифр удваивается. Можно сделать такой же шаг еще раз, проведя касательную к графику в точке с абсциссой ξ₂ и найдя точку ξ₃ пересечения с осью x. Это позволит еще раз значительно улучшить результат. Проводя итерации метода Ньютона, обычно получают быстро сходящуюся последовательность значений, приближающих корень (нуль) функции.

Рис. 5.21. Гладкая функция — подходящий кандидат для метода Ньютона

Рис. 5.22. Первый шаг в методе Ньютона

Рис. 5.23. Второй шаг в методе Ньютона

Рис. 5.24. Новое приближение лучше прежнего