Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Например, в 1902 г. в бюллетене Американского математического общества был опубликован авторизованный перевод работы Гильберта, выполненный Мэри Уинстон Ньюсон[66] (1869–1959). В этом переводе рассказывалось обо всех двадцати трех нерешенных проблемах математики, которые, по мнению Гильберта, были первостепенной важности, и которые крайне важно было решить. Между прочим, 18-я проблема включает задачу Кеплера об упаковке сфер, мы обсудим ее в гл. 10. Первым человеком, решившим одну из проблем Гильберта, стал Макс Дин; это случилось в 1900 г. В проблеме 3 шла речь о разрезании многогранника на части, из которых можно сложить другой многогранник[67]. Дин был профессором в университете Франкфурта, а также преподавал в Иллинойском технологическом институте.

Часто говорят, что Гильберт — последний ученый, знакомый со всеми отраслями математики. Он написал основополагающие работы по всем основным разделам математики своего времени. Поэтому неудивительно, что Гильберт смог в своей лекции на международном конгрессе 1900 г. охватить весь предмет математики, выбрать отдельные области, требовавшие особого внимания, и поставить самые титанические проблемы. То, что мы сейчас знаем под названием «Проблемы Гильберта», включает алгебру, геометрию, дифференциальные уравнения, комбинаторику, действительный анализ, логику, комплексный анализ и многие другие части математики. Послание Гильберта заключалось в том, что математики XX в. должны были сосредоточить усилия именно на этих 23 проблемах.

Конечно, имя Гильберта — не пустой звук, и математики уделяли значительное внимание его наставлениям. Они распространяли список проблем у себя на родине и знакомили с ним руководство и коллег. Как уже было сказано, лекция и замечания Гильберта были записаны и опубликованы, и таким образом нашли путь в университеты всего мира. Решить какую-нибудь проблему Гильберта сразу стало очень интересно, и заметное признание и привилегии снискал тот, кому это удавалось.

Сегодня можно сказать, что десять проблем Гильберта (3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 21) полностью решены. Еще для восьми (1, 2, 5, 9, 12, 15, 18, 22) найдены решения, которые, правда, нельзя назвать общепризнанными. Четыре проблемы (4, 6, 16, 23) настолько неприступны, что неясно, появится ли что-то, что можно будет назвать их «решением». И остается еще номер 8, гипотеза Римана, решения которой не предвидится. В книгах [GRA] и [YAN] подробно рассказывается колоритная сага о проблемах Гильберта.

Одной из подлинных страстей Гильберта была логика, в этой области он написал важный труд [HIA]. Поскольку Гильберт обладал универсальными и глубокими познаниями в математике, он много размышлял о том, как согласуются между собой различные ее части. Его беспокоили вопросы аксиоматизации. Гильберт пламенно верил, что должен существовать универсальный (и сравнительно небольшой) набор аксиом математики, и что из него должны выводиться все математические теоремы[68]. Однако Гильберт ясно сознавал довольно сумбурную историю математики. Слишком хорошо ему было известно, как много в математической литературе ошибок, неточностей и противоречий.

В книге Гильберта по геометрии [HIL], которую можно считать его самой важной работой (не все с этим согласны, отдавая первенство работам по теории чисел, функциональному анализу или теории инвариантов), исправлены многие ошибки «Элементов» Евклида, а его аксиомы переработаны и приведены к виду, с которым мы имеем дело сегодня. В книге по логике Гильберт излагает программу на XX в.: формализовать математику, унифицировать язык, разработать прочный аналитический базис науки. Повторимся: надежды Гильберта перечеркнула дерзкая и гениальная работа Гёделя, появившаяся тридцать лет спустя. Парадокс Расселла (разд. 1.10) уже смущал умы. Но все равно Гильберт был невероятно выдающимся и влиятельным ученым. К его мнению внимательно прислушивались, его программу воспринимали с энтузиазмом. Таким образом, Давид Гильберт оказал огромное влияние на направления, в которых развивалась математика в начале XX в.

Тогда дружеское соперничество между французскими и немецкими математиками длилось уже довольно давно. Хотя их объединяла общая любимая наука, эти две группы занимались математикой в разных стилях, придерживаясь разных приоритетов. Французы приняли программу Гильберта по утверждению математической строгости очень серьезно, но их природа заставила предпринять создание своей собственной, отечественной программы. Этот проект был задуман и исполнен фигурой, замечательной в истории современной математики — Николя Бурбаки.