Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Математика принадлежит человеку, а не Богу. Мы не заинтересованы в свойствах натуральных чисел, которые не имеют описательного смысла для конечного человека. Когда человек доказывает, что натуральное число существует, он должен показать, как его найти. Если Богу требуется математика для Его Собственных нужд, пусть Он создаст ее для Себя.

А вот моя самая любимая цитата Эррета Бишопа, та, что ближе всего подбирается к теме этой книги:

Доказательство — это любое вполне убедительное рассуждение.

Рассуждения Бишопа в книге «Методы конструктивного анализа» [BIS1] были, по словам самого Бишопа, дьявольски умны. Книга имела значительное влияние и заставила пересмотреть методологию современного анализа. Правая рука и сотрудник Бишопа Д. Бриджес подготовил исправленное и расширенное издание [BIB] его работы (опубликованное после смерти Бишопа), в котором идеи конструктивизма получили дальнейшее развитие.

Бишоп применил свой конструктивный подход и к другим областям математики. В 1972 г. он опубликовал «Конструктивную теорию меры» [BIC]. А через год написал новую книгу «Шизофрения в современной математике» [BIS2], где перечислил свои принципы конструктивизма:

(A) математика — это здравый смысл;

(B) не спрашивай, истинно ли утверждение, пока не знаешь, что оно означает;

(C) доказательство — это любое вполне убедительное рассуждение;

(D) значимые различия заслуживают того, чтобы их сохраняли.

5.7 Николя Бурбаки

Начало XX в. стало зарей современного века логики. Математики осознали, что интеллектуальная структура математики была довольно хаотичной. Не было никаких общепринятых стандартов строгости. Разные люди записывали доказательства своих теорем по-разному. Некоторые вполне выдающиеся математики редко утруждали себя строгими доказательствами.

Нам теперешним, с более чем вековой дистанции, не понять, сколь много математический климат 1900-х гг. был обязан неоднородности предмета и сколь много служил отражением большого числа гениев, работавших на пределах своих возможностей в относительной интеллектуальной изоляции. В наше время любой исследователь мгновенно может получить отклик (благодаря Интернету и плотно сплетенному мировому научному сообществу) от математиков из Австралии, Японии, Турции и других точек земного шара. Работать изолированно практически невозможно. По большей части математик, который работает менее чем строго, который не следует ясно прописанным правилам игры, быстро оказывается на обочине[64]. Но на стыке веков все было иначе.

Сто и больше лет назад не было и общепринятого языка математики. Одни и те же термины означали разные вещи для разных людей. Основания геометрии во Франции отличались от оснований геометрии в Англии, а те, в свою очередь, были не похожи на основания геометрии в Германии. Америка была пятым колесом в математической телеге. С точки зрения гуру из мировых центров — Парижа, Берлина, Геттингена, — математиков в Америке никогда не было. В том смысле, что ни один гражданин Соединенных Штатов никогда не доказал ни одной великой теоремы, такой, что была бы признана авторитетами в крупных интеллектуальных центрах Европы. Признание американской математики пришло позднее, вместе с трудами Дж. Биркгоффа, Норберта Винера и других.

Давид Гильберт геттингенский считался одним из интеллектуальных лидеров европейской математики. В знак признания его ведущей роли его пригласили выступить на открытии Второго международного конгресса математиков, который состоялся в Париже в 1900 г. То, что сделал Гильберт на конгрессе, стало потрясением, тектоническим сдвигом в математике. Он сформулировал 23 проблемы[65], которые по его замыслу должны были послужить путеводными звездами в работе математиков XX в. По совету Гурвица и Минковского Гильберт сократил свои заметки и во время лекции огласил только десять проблем. Но вскоре в разных странах было опубликовано более полное изложение идей Гильберта.