Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В качестве простой иллюстрации метода Ньютона давайте вычислим — знаменитое число, иррациональность которого доказал сам Пифагор. Это число является корнем (нулем) полиномиального уравнения p(x)=x²-2=0. Начнем с того, что выберем первое значение наугад: ξ₁=1,5. Поскольку 1,5²=2,25, это значение довольно грубо приближает истинное, которое мы ищем. Оказывается, если проделать все нужные вычисления, подобно описанным выше, по методу Ньютона (а это несложно для того, кто знаком с началами анализа), то

Применим эту простую формулу для n=1:

Подставим сюда первое значение, выбранное наугад ξ₁=1,5, тогда

С точностью до двенадцатого знака корень квадратный из двух равен , поэтому видно, что одна-единственная итерация метода Ньютона дает значение с точностью до двух знаков после запятой (или до одного, если воспользоваться округлением).

Сделаем еще один шаг:

Подставив сюда значение ξ₂ из (*), найдем

Мы получили уже два верных знака числа .

Сделаем еще один шаг метода Ньютона. Мы знаем, что

Подстановка значения ξ₃ из (**) дает

Таким образом, проведя всего три несложные итерации метода Ньютона, мы получили одиннадцать верных цифр. Обратите внимание на точность метода — число верных цифр по крайней мере удваивалось на каждом шаге этого метода!

Метод Ньютона относится к фундаментальным методам области математики, известной как численный анализ. В численном анализе используют методы аппроксимации (и компьютерные вычисления) для решения задач, с которыми нельзя справиться другими методами[63].

Использование методов численного анализа включает еще один сдвиг парадигмы, ведь мы больше не ищем точные решения. Вместо этого мы провозглашаем желательную степень приближения (например, число верных десятичных цифр), а затем находим приблизительное решение с нужной степенью точности. Для практических нужд такой способ приближения вполне удовлетворителен. Скажем, в плотницком деле редко требуется больше 1 или 2 верных цифр после запятой. В высокотехнологичных инженерных приложениях может понадобиться 5 или 6 верных цифр. При разработке микрочипов иногда речь идет об 11 или 12 знаках. Но точное решение требуется редко (хотя в интересах теории оно очень важно и, без сомнения, математики хотели бы получать именно точные решения).

Как мы уже говорили, обычно метод Ньютона позволяет удвоить число верных цифр после запятой при каждой итерации. Поэтому в сочетании с компьютером это очень эффективное средство.

5.6 Эррет Бишоп и конструктивный анализ

Эррет Бишоп был одним из величайших гениев математического анализа в 1950-х и 1960-х гг. Он заслужил такую репутацию, построив вызывающе блестящие доказательства фактов о структуре функциональных пространств. Многие из его доказательств были непрямыми, иначе говоря, от противного.

Бишоп пережил личностное преображение в середине и конце 1960-х годов. Он был профессором математики в университете Беркли и серьезно обеспокоен политической нестабильностью в кампусе. Через какое-то время он почувствовал, что не может работать в той атмосфере. Кроме того, его сестра, одаренный математик, Мэри Бишоп, покончила жизнь самоубийством, и эти личные неурядицы только усугубили его тревогу. Он перевелся в университет Сан-Диего. Приблизительно в то же время Бишоп пришел к убеждению, что доказательства от противного исполнены опасности. Он написал замечательную и довольно грустную книгу [BIS1], в которой развернул философию конструктивизма — приблизительно в духе идей Брауэра пятидесятилетней давности. В отличие от Брауэра у Бишопа за словами следовали дела. На страницах этой книги Бишоп действительно смог развить большинство идей математического анализа, не прибегая к доказательству от противного. Таким образом, он создал новую ветвь математики под названием «конструктивный анализ».

Одна фраза из предисловия к этой книге Бишопа проливает свет на то, как сам автор относился к делу своих рук:

Большинству математиков было бы сложно поверить в то, что в основаниях математики может обнаружиться серьезное противоречие, такое, что может оказать значительное влияние на их собственную работу.

Бишоп продолжает:

Вовсе не будет преувеличением сказать, что прямой реалистический подход к математике еще предстоит опробовать. Сейчас самое время попытаться.

Бишоп позволяет себе развить это соображение: