Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

Действие степенного закона распределения доходностей на финансовых рынках можно увидеть при возникновении катастроф, когда ситуация может ухудшаться не на проценты, а в разы. Хвосты степенного распределения тяжелее, чем у нормального, поэтому в данном случае пренебрегать ими нельзя. Наличие степенного распределения говорит о зависимости событий, даже если они случайные.

Допустим, мы пытаемся перейти вброд реку, зная, что ее средняя глубина составляет примерно полметра со стандартным отклонением еще 20 сантиметров. Иначе говоря, с вероятностью 99,73% в самом глубоком месте этой реки мы не ожидаем глубины более одного метра и десяти сантиметров (0,5 + 0,2 × 3, где 3 — это три сигмы стандартного отклонения, которые и дают вероятность 99,73%). Однако наши оценки не учитывают наличия глубоких ям в некоторых местах. И если нам не повезет, то мы рискуем утонуть. Поэтому применение стандартного отклонения в качестве меры вероятности многих явлений, в первую очередь на финансовых рынках, является очень большим допущением.

Наш взгляд в будущее зависит от выбора точки, откуда на него смотреть (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Взгляд на будущее зависит от того, откуда смотреть

Финансовые рынки далеки от нормального распределения

Еще в начале 1960-х гг. Юджин Фама (Eugene Fama) провел исследование динамики котировок 30 акций, входящих в фондовый индекс DJIA, в котором выявил ненормальность распределения доходности их изменения. Фама писал: «Если совокупность изменений котировок нормальна в строгом смысле этого слова в среднем для любой акции… то более пяти стандартных отклонений от средних значений должны наблюдаться примерно раз в 7000 лет. На самом деле такие случаи происходят, по-видимому, раз в три-четыре года»[93]. Надо сказать, что известный нам по теории фракталов Бенуа Мандельброт консультировал Фаму в данном исследовании и в своих работах тоже много раз указывал на «ненормальность» изменений котировок разнообразных рыночных товаров.

Мои расчеты фондового индекса Dow Jones подтверждают этот факт. Рассмотрим ряд дневных изменений (значение на закрытие одного дня к значению на закрытие за предыдущий день) индекса DJIA за период с 4 января 1915 г. по 27 июля 2010 г. Первоначально необходимо понять, является ли указанный ряд нормальным распределением. На рис. 6.8 видно, что ряд изменений индекса DJIA очень похож на нормальное распределение. Но это только если смотреть на стандартную шкалу. Приближение с помощью логарифмической шкалы выявляет существенное расхождение между ожидаемыми от нормального распределения значениями вероятности больших скачков индекса и фактическими значениями (рис. 6.9).

Стандартная шкала

Рис. 6.8. Сколько шансов на то, что в течение года (250 рабочих дней) мы увидим дневное изменение фондового индекса DJIA на заданный процент. Фактическая плотность распределения (логарифмы дневных изменений фондового индекса DJIA с 4 января 1915 г. по 27 июля 2010 г., всего 23 721 дня) в сравнении с плотностью нормального распределения

Источник: собственные расчеты автора.

Рис. 6.9. Сколько нужно лет, чтобы увидеть такое дневное изменение фондового индекса DJIA на заданный процент (по оси x). Фактическая плотность распределения (логарифмы дневных изменений фондового индекса DJIA с 04 января 1915 г. по 27 июля 2010 г., всего 23 721 день) в сравнении с плотностью нормального распределения, логарифмическая шкала

Источник: собственные расчеты автора.

На рис. 6.9 тот же рисунок, что и на рис. 6.8, представлен в более удобном виде — на шкале y задано количество лет, необходимых с точки зрения нормального распределения, а также по факту, чтобы мы увидели такое процентное изменение фондового индекса DJIA за один день. Видно, например, что падение индекса более чем на 7,8% и менее чем на 7,9% (по натуральному логарифму, чтобы выровнять масштабы роста и падения) в реальности произошло один раз за столетие, хотя «предсказание» плотности нормального распределения говорило о том, что оно, вероятно, случится один раз за 100 млн лет. И если бы это был единичный случай, мы могли бы отнести его к случайным выбросам. Однако жизнь еще более изменчива. И то, что «предсказывается» нормальным распределением как один шанс на 1305 млрд лет (то есть в 100 раз больше оцениваемого современными учеными возраста Вселенной), за историю американского рынка акций случилось трижды!

А теперь на минуточку представьте, что, как втолковывают практически все учебники по риск-менеджменту, нужно использовать нормальное распределение в качестве метода функционирования рынка и экономики, а стандартное отклонение — как меру риска. Что ж, для меня это хорошая возможность использовать чужие заблуждения.

Логарифмическая шкала