Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содйствовали теоріи ариметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ он отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мсто въ элементарной ариметик.

Дленіе чиселъ на четныя и нечетныя извстно было еще въ древнемъ Египт; оно же было вполн извстно и Пиагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром того, пиагорейцы раздлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ длителей, а составными т, которыя можно представить въ вид произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрли и на ариметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.

Еще пиагорейцы выдлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дленіемъ на 2; вотъ примры треугольныхъ чиселъ: 10=^4·5/₂, 15=^5·6/₂, 21=^6·7/₂, 28=^7·8/₂, 36=^8·9/₂ и т. д.

Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Кром того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумлись такія, которыя равны сумм всхъ своихъ длителей, считая единицу; самый легкій примръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примромъ можетъ служить число 496; если сложить всхъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм получимъ опять 496; множители слдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм длителей другого; лучшимъ примромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ длители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмст 284, а у второго длители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нкій Мадштрити, умершій въ Мадрид въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цляхъ существующаго» пытается уврить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ расположить. Другой авторитетный человкъ, нкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дйствительно эти числа имютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дл это испытали и уврились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт въ этомъ же уврился.

Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс эти подраздленія и вс формулы разрабатывались въ школ Пиагора и уже отъ позднйшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись замчать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отмчались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:

1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;

10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,

20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,

30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены

и т. д.

Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на раздленіи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, вс остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).